置換積分法
積分変数を別の変数に置き換えて計算を簡単にする方法です。
置換積分の手順
- u = g(x) と置換する
- du = g'(x)dx として dx を du で表す
- ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du の形にする
- 積分後、u を x に戻す
📘 例題①
∫(2x+1)⁴ dx を置換積分で計算しなさい。
解答：u = 2x+1 とおくと du = 2dx → dx = du/2。
∫u⁴ × (du/2) = (1/2) × u⁵/5 + C = (2x+1)⁵/10 + C
∫(2x+1)⁴ dx を置換積分で計算しなさい。
解答：u = 2x+1 とおくと du = 2dx → dx = du/2。
∫u⁴ × (du/2) = (1/2) × u⁵/5 + C = (2x+1)⁵/10 + C
📘 例題②
∫x(x²+1)³ dx を置換積分で計算しなさい。
解答：u = x²+1 とおくと du = 2xdx → xdx = du/2。
∫u³ × (du/2) = u⁴/8 + C = (x²+1)⁴/8 + C
∫x(x²+1)³ dx を置換積分で計算しなさい。
解答：u = x²+1 とおくと du = 2xdx → xdx = du/2。
∫u³ × (du/2) = u⁴/8 + C = (x²+1)⁴/8 + C
💡 ポイント
- 「中の式」を u と置き、du を計算
- dx がすべて du に変換できることを確認
- 合成関数の微分の逆操作
練習問題
- ∫(3x−2)⁵ dx を計算しなさい。
- ∫x²(x³+1)⁴ dx を計算しなさい。
- ∫2x/√(x²+1) dx を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：(3x−2)⁶/18 + C
解説：u=3x−2、du=3dx。∫u⁵du/3=u⁶/18+C。 - 解答：(x³+1)⁵/15 + C
解説：u=x³+1、du=3x²dx。∫u⁴du/3=u⁵/15+C。 - 解答：2√(x²+1) + C
解説：u=x²+1、du=2xdx。∫u^(−1/2)du=2u^(1/2)+C=2√(x²+1)+C。