部分積分法
積の積分に使う公式です。微分の積の公式を逆用します。
部分積分の公式
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx
または ∫uv'dx = uv − ∫u'v dx
どちらを u にするか
一般に「多項式 > 指数 > 三角 > 対数」の順に u を選ぶ（微分して簡単になる方）。
📘 例題①
∫x(x+1)⁴ dx を部分積分で計算しなさい。
解答：u = x、v' = (x+1)⁴。v = (x+1)⁵/5。
= x(x+1)⁵/5 − ∫(x+1)⁵/5 dx
= x(x+1)⁵/5 − (x+1)⁶/30 + C = (x+1)⁵(6x−(x+1))/30 + C = (x+1)⁵(5x−1)/30 + C
∫x(x+1)⁴ dx を部分積分で計算しなさい。
解答：u = x、v' = (x+1)⁴。v = (x+1)⁵/5。
= x(x+1)⁵/5 − ∫(x+1)⁵/5 dx
= x(x+1)⁵/5 − (x+1)⁶/30 + C = (x+1)⁵(6x−(x+1))/30 + C = (x+1)⁵(5x−1)/30 + C
📘 例題②
∫x × 2ˣ dx（指数を含む積分、参考レベル）の方針を示しなさい。
解答（方針）：u = x（微分で消える）、v' = 2ˣ（積分して 2ˣ/ln2）とおき部分積分。
数学IIの範囲では主に多項式の積分で使用。
∫x × 2ˣ dx（指数を含む積分、参考レベル）の方針を示しなさい。
解答（方針）：u = x（微分で消える）、v' = 2ˣ（積分して 2ˣ/ln2）とおき部分積分。
数学IIの範囲では主に多項式の積分で使用。
💡 ポイント
- ∫uv' = uv − ∫u'v：右辺の積分が左辺より簡単になるように u を選ぶ
- 多項式 × (積分できる関数) の形が典型
練習問題
- ∫x(x−1)³ dx を部分積分で計算しなさい。
- ∫(x+1)(x+2)² dx を部分積分（またはそのまま展開）で計算しなさい。
- ∫x² (x+1) dx を展開と部分積分の両方で計算し、結果が一致することを確認しなさい。
解答・解説
- 解答：u=x、v=(x−1)⁴/4。x(x−1)⁴/4−∫(x−1)⁴/4 dx = x(x−1)⁴/4−(x−1)⁵/20+C
解説：= (x−1)⁴(5x−(x−1))/20+C = (x−1)⁴(4x+1)/20+C。 - 解答：展開：(x+1)(x²+4x+4)=x³+5x²+8x+4。積分：x⁴/4+5x³/3+4x²+4x+C
解説：展開の方が速い。 - 解答：x³/3+x²/2+C（展開法）。部分積分：u=x²、v'=x+1、v=(x+1)²/2... 展開の方が明快。
解説：x²(x+1)=x³+x²。∫(x³+x²)dx=x⁴/4+x³/3+C。