定積分と面積①（基本）
曲線と x 軸で囲まれた面積は、定積分の絶対値（符号に注意）で求めます。
面積の公式
区間 [a, b] で f(x) ≥ 0 のとき：S = ∫ₐᵇ f(x)dx
f(x) の符号が変わる場合：符号が変わる点で区切り、各部分の絶対値を足す。
S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx
📘 例題①
y = x² − 1 と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
解答：x²−1 = 0 → x = ±1。区間 [−1, 1] で f(x) ≤ 0。
S = −∫₋₁¹ (x²−1)dx = −[x³/3−x]₋₁¹ = −((1/3−1)−(−1/3+1)) = −(−4/3) = 4/3
y = x² − 1 と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
解答：x²−1 = 0 → x = ±1。区間 [−1, 1] で f(x) ≤ 0。
S = −∫₋₁¹ (x²−1)dx = −[x³/3−x]₋₁¹ = −((1/3−1)−(−1/3+1)) = −(−4/3) = 4/3
📘 例題②
y = x³ − x と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
解答：x³−x = x(x+1)(x−1) = 0 → x = −1, 0, 1。
[−1, 0] で f ≥ 0、[0, 1] で f ≤ 0。
S = ∫₋₁⁰ (x³−x)dx + |∫₀¹ (x³−x)dx|
= [x⁴/4−x²/2]₋₁⁰ + |[x⁴/4−x²/2]₀¹| = (0−1/4) + |1/4−1/2| = ...
S = |−1/4| + |−1/4| = 1/2
y = x³ − x と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
解答：x³−x = x(x+1)(x−1) = 0 → x = −1, 0, 1。
[−1, 0] で f ≥ 0、[0, 1] で f ≤ 0。
S = ∫₋₁⁰ (x³−x)dx + |∫₀¹ (x³−x)dx|
= [x⁴/4−x²/2]₋₁⁰ + |[x⁴/4−x²/2]₀¹| = (0−1/4) + |1/4−1/2| = ...
S = |−1/4| + |−1/4| = 1/2
💡 ポイント
- 面積 = ∫|f(x)|dx：絶対値を外すには符号が変わる点で分割
- f(x) ≤ 0 の部分は −∫f(x)dx で面積を正に
- グラフのスケッチで符号の範囲を確認
練習問題
- y = x² − 4 と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
- y = x(x−2) と x 軸で囲まれた面積を求めなさい。
- y = x³ − 3x と x 軸で囲まれた全面積を求めなさい。
解答・解説
- 解答：32/3
解説：交点x=±2。[−2,2]でf≤0。S=−∫₋₂²(x²−4)dx=−[x³/3−4x]₋₂²=−((8/3−8)−(−8/3+8))=−(−32/3)=32/3。 - 解答：4/3
解説：x(x−2)=0→x=0,2。[0,2]でf≤0。S=−∫₀²(x²−2x)dx=−[x³/3−x²]₀²=−(8/3−4)=4/3。 - 解答：9/2（対称性を使う）
解説：x³−3x=x(x²−3)=0→x=0,±√3。奇関数なので[−√3,0]と[0,√3]は対称。S=2∫₀^√3|x³−3x|dx=2∫₀^√3(3x−x³)dx=2[3x²/2−x⁴/4]₀^√3=2(9/2−9/4)=2×9/4=9/2。