定積分と面積②（2曲線間）
2つの曲線 y = f(x)、y = g(x) の間の面積は ∫|f(x)−g(x)|dx で求めます。
2曲線間の面積
f(x) ≥ g(x) のとき：S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x))dx
📘 例題①
y = x² と y = x で囲まれた面積を求めなさい。
解答：交点：x² = x → x = 0, 1。[0, 1] で x ≥ x²。
S = ∫₀¹ (x−x²)dx = [x²/2−x³/3]₀¹ = 1/2−1/3 = 1/6
y = x² と y = x で囲まれた面積を求めなさい。
解答：交点：x² = x → x = 0, 1。[0, 1] で x ≥ x²。
S = ∫₀¹ (x−x²)dx = [x²/2−x³/3]₀¹ = 1/2−1/3 = 1/6
📘 例題②
y = x² − 2x と y = x で囲まれた面積を求めなさい。
解答：交点：x²−2x = x → x²−3x = 0 → x = 0, 3。[0, 3] で x ≥ x²−2x。
S = ∫₀³ (x−(x²−2x))dx = ∫₀³ (3x−x²)dx = [3x²/2−x³/3]₀³ = 27/2−9 = 9/2
y = x² − 2x と y = x で囲まれた面積を求めなさい。
解答：交点：x²−2x = x → x²−3x = 0 → x = 0, 3。[0, 3] で x ≥ x²−2x。
S = ∫₀³ (x−(x²−2x))dx = ∫₀³ (3x−x²)dx = [3x²/2−x³/3]₀³ = 27/2−9 = 9/2
📘 例題③（1/6 公式）
y = ax² + bx + c と x 軸が 2 点 (α, 0)、(β, 0) で交わるとき（α < β）：
S = |a|/6 × (β−α)³
例：y = x²−x−2（α=−1, β=2）。S = 1/6 × 3³ = 9/2
y = ax² + bx + c と x 軸が 2 点 (α, 0)、(β, 0) で交わるとき（α < β）：
S = |a|/6 × (β−α)³
例：y = x²−x−2（α=−1, β=2）。S = 1/6 × 3³ = 9/2
💡 ポイント
- 交点を先に求めて積分区間を確定
- どちらの曲線が上かを確認（上−下）
- 2次曲線と x 軸：1/6 公式が速い
練習問題
- y = x² と y = 2x − x² の間の面積を求めなさい。
- y = x² − 3x と y = −x² + x の間の面積を求めなさい。
- y = x² − 4 と x 軸で囲まれた面積を 1/6 公式で求めなさい。
解答・解説
- 解答：1/3
解説：x²=2x−x²→2x²−2x=0→x=0,1。∫₀¹(2x−2x²)dx=[x²−2x³/3]₀¹=1−2/3=1/3。 - 解答：8/3
解説：x²−3x=−x²+x→2x²−4x=0→x=0,2。∫₀²(−2x²+4x)dx=[−2x³/3+2x²]₀²=−16/3+8=8/3。 - 解答：32/3
解説：x²−4=0→x=±2。1/6公式：1×(2−(−2))³/6=64/6=32/3。