指数の拡張
a⁰=1、a⁻ⁿ=1/aⁿ、a^(m/n)=(ⁿ√a)ᵐ と指数を有理数に拡張します。
指数法則（a>0, b>0）
- aˢ×aᵗ=aˢ⁺ᵗ / aˢ÷aᵗ=aˢ⁻ᵗ / (aˢ)ᵗ=aˢᵗ
📘 例題①
(1) 8^(2/3) (2) 27^(−1/3) (3) (1/4)^(−3/2)
解答：(1) 4 (2) 1/3 (3) 8
(1) 8^(2/3) (2) 27^(−1/3) (3) (1/4)^(−3/2)
解答：(1) 4 (2) 1/3 (3) 8
📘 例題②
a^(5/6) × a^(−1/3) ÷ a^(1/2) を簡単にしなさい。
解答：指数の和：5/6−1/3−1/2 = 0 → 1
a^(5/6) × a^(−1/3) ÷ a^(1/2) を簡単にしなさい。
解答：指数の和：5/6−1/3−1/2 = 0 → 1
💡 ポイント
- a^(m/n)=(ⁿ√a)ᵐ：先にn乗根をとるのが計算しやすい
練習問題
- (1) 16^(3/4) (2) 32^(−2/5) (3) (9/4)^(3/2) を計算しなさい。
- (a^(1/2)×b^(2/3))^6 を簡単にしなさい。
- 2^(1/3)×4^(1/3)×8^(−1/2) を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：(1) 8 (2) 1/4 (3) 27/8
- 解答：a³b⁴
- 解答：2^(1/3+2/3−3/2)=2^(1−3/2)=2^(−1/2)=1/√2=√2/2
解説：4^(1/3)=2^(2/3)、8^(−1/2)=2^(−3/2)。指数の和=1/3+2/3−3/2=1−3/2=−1/2。