指数方程式
底をそろえて指数を比較：aˢ=aᵗ ⟺ s=t（a>0, a≠1）
📘 例題①
(1) 2^x=8 (2) 9^x=27 (3) (1/4)^x=32
解答：(1) x=3 (2) x=3/2 (3) x=−5/2
(1) 2^x=8 (2) 9^x=27 (3) (1/4)^x=32
解答：(1) x=3 (2) x=3/2 (3) x=−5/2
📘 例題②（置換）
4^x−3×2^x−4=0 を解きなさい。
解答：t=2^x（t>0）。t²−3t−4=0→(t−4)(t+1)=0→t=4→x=2
4^x−3×2^x−4=0 を解きなさい。
解答：t=2^x（t>0）。t²−3t−4=0→(t−4)(t+1)=0→t=4→x=2
💡 ポイント
- 底をそろえる / t=2^x と置換してt>0で絞り込む
練習問題
- (1) 3^(2x+1)=27 (2) 4^x=8^(x−1) を解きなさい。
- 9^x−4×3^x+3=0 を解きなさい。
- f(x)=4^x−2^(x+1)+3 の最小値を求めなさい。
解答・解説
- 解答：(1) x=1 (2) x=3
- 解答：x=0, 1
解説：t=3^x。(t−1)(t−3)=0→t=1→x=0、t=3→x=1。 - 解答：最小値 2（t=2^x、f=(t−1)²+2、t=1すなわちx=0で最小）