場合の数③ 道順・条件付き
格子状の道を最短経路で進む問題と、条件が付いた場合の数を扱います。
道順の数え方
格子状の道で右か上にしか進めない場合、各交点への道順の数は左の交点と下の交点の道順の和になります。
📘 例題1
右に3、上に2進む最短経路の数は何通りですか？
解答：
右(R)3回、上(U)2回の並べ方の数
5C2 ＝ (5×4)÷(2×1) ＝ 10通り
右に3、上に2進む最短経路の数は何通りですか？
解答：
右(R)3回、上(U)2回の並べ方の数
5C2 ＝ (5×4)÷(2×1) ＝ 10通り
条件付き場合の数
📘 例題2
A・B・C・D・Eの5人を1列に並べるとき、AとBが隣り合う並べ方は何通りですか？
解答：
AとBをひとかたまりとして扱う→4つの要素の並べ方：4!＝24通り
AとBの内部の並べ方：2通り
合計：24×2＝48通り
A・B・C・D・Eの5人を1列に並べるとき、AとBが隣り合う並べ方は何通りですか？
解答：
AとBをひとかたまりとして扱う→4つの要素の並べ方：4!＝24通り
AとBの内部の並べ方：2通り
合計：24×2＝48通り
💡 ポイント
- 道順：右m回、上n回の並べ方＝(m+n)Cm
- 隣り合う条件→ひとかたまりにして考える
- 「〜でない」場合→全体－条件に合う場合
練習問題
- 右に4、上に3進む最短経路は何通りですか？
- A・B・C・D・Eを1列に並べるとき、AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか？
解答・解説
- 解答：35通り
解説：右4回、上3回の並べ方。合計7回の移動から上3回を選ぶ：7C3＝（7×6×5）÷（3×2×1）＝210÷6＝35通り。 - 解答：72通り
解説：全体の並べ方：5!＝120通り。AとBが隣り合う並べ方：4!×2＝48通り（AとBを1まとめにして4要素を並べ、AB内部の順番2通り）。AとBが隣り合わない並べ方：120－48＝72通り。