弾性衝突と非弾性衝突
衝突にはエネルギーが保存される弾性衝突と、失われる非弾性衝突があります。両者の違いと解法を習得します。
基本知識
弾性衝突（完全弾性衝突）: 運動量保存 + 運動エネルギー保存が成立。
連立すると（質量 m₁, m₂、衝突前速度 v1, v2）:v1 = (m₁−m₂)v1 + 2m₂v2 / (m₁+m₂)v2 = 2m₁v1 + (m₂−m₁)v2 / (m₁+m₂)
特殊ケース（m₁ = m₂、v2 = 0）: 速度が入れ替わる（v1 = 0、v2 = v1）
非弾性衝突: 運動量保存のみ成立。運動エネルギーは一部失われる（熱・音・変形）。
完全非弾性衝突（合体）: v' = (m₁v1 + m₂v2)/(m₁+m₂)
エネルギー損失: ΔE = ½m₁v1² + ½m₂v2² − (½m₁v1² + ½m₂v2²) ≥ 0
弾性衝突: 運動量保存 + エネルギー保存（2式連立）
完全非弾性衝突: v' = (m₁v1 + m₂v2)/(m₁+m₂)
等質量弾性衝突: 速度が入れ替わる
エネルギー損失: 衝突前後のKEの差（≥ 0）
弾性条件: ½m₁v1² + ½m₂v2² = ½m₁v1² + ½m₂v2²
深掘り（背景・意義）
弾性衝突の連立方程式を解くとき、エネルギー保存式は「速度の2乗」が含まれるため直接解くと複雑です。代わりに「相対速度の逆転」という等価条件を使うと計算が簡単になります（これが反発係数 e = 1 に対応）。
原子・分子レベルの衝突は理想的な弾性衝突に近く、気体分子運動論の基礎です。一方、日常の衝突（車・ボール・人）は程度の差はあれ非弾性衝突です。
完全非弾性衝突でエネルギー損失が最大になります。損失エネルギー ΔE = μΔv²/2（μ は換算質量 m₁m₂/(m₁+m₂)、Δv は相対速度）という形でも表されます。
ニュートンのゆりかご（金属球が連なる実験装置）は弾性衝突（等質量）の速度入れ替わりを視覚化したものです。
- 弾性：運動量 + エネルギー両方保存
- 非弾性：運動量のみ保存（KE は減少）
- 完全非弾性（合体）：KE損失が最大
- 等質量弾性衝突：速度が入れ替わる
- 弾性衝突の等価条件：相対速度が逆転
- ΔE ≥ 0（エネルギーは増えない）
- 2式（保存則2本）→ 2つの未知数
注意点（混同しやすい）
① 「衝突では運動量保存」と覚えるが、弾性のみエネルギーも保存。② 弾性衝突の計算は保存則2式連立が正攻法。③ 完全非弾性衝突は最もエネルギーを失う（最小KE後）。④ エネルギー損失は常に ≥ 0。衝突後にKEが増加することはない（外部から仕事が必要）。
練習
- 質量 m の球が静止している等質量の球に弾性衝突した。衝突後の両者の速度を求めよ。
- 質量 1.0 kg（速度 4.0 m/s）と質量 3.0 kg（静止）が完全非弾性衝突した。衝突後の速度と失われた運動エネルギーを求めよ。
- 弾性衝突と非弾性衝突で共通に成立する保存則は何か。