不等式への応用
微分を使って「f(x) ≥ 0 を示す」「最小値を求める」などの問題を解きます。
📘 例題①（不等式の証明）
x > 0 のとき x³ + 2 > 3x を示しなさい。
解答：f(x) = x³ − 3x + 2 とおく。f'(x) = 3x²−3 = 3(x+1)(x−1)。
x > 0 でf'(x)の符号：0 < x < 1でf'<0（減少）、x > 1でf'>0（増加）。
f(1) = 1−3+2 = 0 が最小。
x > 0 でf(x) ≥ 0、等号は x = 1。つまり x³+2 ≥ 3x。（等号 x=1 を除けば x³+2 > 3x... x=1で等号成立）
よって x > 0, x ≠ 1 で x³+2 > 3x、x=1 で等号。問題が「>」なら追記：x=1の場合は等号なので「>」は成立しない。修正：x³+2 ≥ 3x（x > 0）が正確。
x > 0 のとき x³ + 2 > 3x を示しなさい。
解答：f(x) = x³ − 3x + 2 とおく。f'(x) = 3x²−3 = 3(x+1)(x−1)。
x > 0 でf'(x)の符号：0 < x < 1でf'<0（減少）、x > 1でf'>0（増加）。
f(1) = 1−3+2 = 0 が最小。
x > 0 でf(x) ≥ 0、等号は x = 1。つまり x³+2 ≥ 3x。（等号 x=1 を除けば x³+2 > 3x... x=1で等号成立）
よって x > 0, x ≠ 1 で x³+2 > 3x、x=1 で等号。問題が「>」なら追記：x=1の場合は等号なので「>」は成立しない。修正：x³+2 ≥ 3x（x > 0）が正確。
📘 例題②（最大・最小の応用）
底面の半径 r、高さ h の円柱で r + h = 6（一定）のとき、体積 V = πr²h の最大値を求めなさい。
解答：h = 6−r（0 < r < 6）。V = πr²(6−r) = π(6r²−r³)。
dV/dr = π(12r−3r²) = 3πr(4−r) = 0 → r = 4（0 < r < 6）。
r = 4 で最大。V = π × 16 × 2 = 32π
底面の半径 r、高さ h の円柱で r + h = 6（一定）のとき、体積 V = πr²h の最大値を求めなさい。
解答：h = 6−r（0 < r < 6）。V = πr²(6−r) = π(6r²−r³)。
dV/dr = π(12r−3r²) = 3πr(4−r) = 0 → r = 4（0 < r < 6）。
r = 4 で最大。V = π × 16 × 2 = 32π
💡 ポイント
- g(x) = f(x)−k とおき g(x) ≥ 0 の最小値を調べる
- 条件付き最大・最小：変数を1つに減らして微分
練習問題
- x ≥ 0 のとき x³ ≥ 3x − 2 を示しなさい。
- a + b = 10（a > 0, b > 0）のとき ab² の最大値を求めなさい。
- x > 0 のとき x + 4/x ≥ 4 を微分を使って示しなさい（または最小値を求めなさい）。
解答・解説
- 解答（概略）：f(x)=x³−3x+2。f'=3(x−1)(x+1)。x≥0でx=1が極小かつ最小：f(1)=0≥0。よってx³≥3x−2。等号x=1。
解説：f(0)=2>0、f(1)=0（最小）。 - 解答：最大値 2000/3（a=10/3, b=20/3 のとき）
解説：b=10−a。f(a)=a(10−a)²。f'=(10−a)²+a×2(10−a)(−1)=(10−a)(10−3a)=0。a=10/3。 - 解答：f(x)=x+4/x。f'=1−4/x²=0→x=2（x>0）。f(2)=4が最小値。よってx+4/x≥4。
解説：x=2で極小かつ最小。相加相乗でも同じ結論。