微分② まとめと演習
積・商・合成の微分と応用問題の総合演習です。
📘 例題①
y = x(x−1)³ を微分しなさい。
解答：f=x、g=(x−1)³。f'=1、g'=3(x−1)²。
y' = (x−1)³ + x × 3(x−1)² = (x−1)²((x−1)+3x) = (x−1)²(4x−1)
y = x(x−1)³ を微分しなさい。
解答：f=x、g=(x−1)³。f'=1、g'=3(x−1)²。
y' = (x−1)³ + x × 3(x−1)² = (x−1)²((x−1)+3x) = (x−1)²(4x−1)
📘 例題②
y = (x+1)²(x−2)² の極値を求めなさい。
解答：y' = 2(x+1)(x−2)² + (x+1)² × 2(x−2) = 2(x+1)(x−2)(x−2 + x+1) = 2(x+1)(x−2)(2x−1)。
x = −1, 1/2, 2 で符号変化。
x=−1：極大 y=0 ←y=0（実は連続で判定）→ y(−1)=0、x=1/2：極小 y=(3/2)²(−3/2)²=81/16、x=2：極大 y=0。
y = (x+1)²(x−2)² の極値を求めなさい。
解答：y' = 2(x+1)(x−2)² + (x+1)² × 2(x−2) = 2(x+1)(x−2)(x−2 + x+1) = 2(x+1)(x−2)(2x−1)。
x = −1, 1/2, 2 で符号変化。
x=−1：極大 y=0 ←y=0（実は連続で判定）→ y(−1)=0、x=1/2：極小 y=(3/2)²(−3/2)²=81/16、x=2：極大 y=0。
💡 まとめ
- 積：(fg)' = f'g + fg'
- 商：(f/g)' = (f'g − fg')/g²
- 合成：(f∘g)' = f'(g) × g'
- 不等式証明：差を関数として最小値を調べる
練習問題
- y = (x²+1)/(x−1) を微分しなさい。
- y = (x+2)²(x−1) の極値を求めなさい。
- y = x√(x+1) を微分しなさい。
解答・解説
- 解答：(x²−2x−1)/(x−1)²
解説：商の公式。(2x(x−1)−(x²+1))/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²。 - 解答：f'=2(x+2)(x−1)+(x+2)²=(x+2)(2(x−1)+(x+2))=(x+2)(3x)=3x(x+2)。x=−2で極大f(−2)=0、x=0で極小f(0)=−4。
解説：符号：x<−2でf'>0、−2 - 解答：√(x+1) + x/(2√(x+1)) = (2(x+1)+x)/(2√(x+1)) = (3x+2)/(2√(x+1))
解説：y=x(x+1)^(1/2)。y'=(x+1)^(1/2)+x(1/2)(x+1)^(−1/2)。通分して整理。