指数不等式
a>1：aˢ>aᵗ⟺s>t（増加）。0<a<1：aˢ>aᵗ⟺s<t（減少、不等号逆）
📘 例題①
(1) 2^x>16 (2) (1/3)^x≤9
解答：(1) x>4 (2) x≥−2
(1) 2^x>16 (2) (1/3)^x≤9
解答：(1) x>4 (2) x≥−2
📘 例題②（置換）
4^x−5×2^x+4≤0 を解きなさい。
解答：t=2^x。(t−1)(t−4)≤0→1≤t≤4→0≤x≤2
4^x−5×2^x+4≤0 を解きなさい。
解答：t=2^x。(t−1)(t−4)≤0→1≤t≤4→0≤x≤2
💡 ポイント
- 底の大小で不等号の向き決定 / 置換後はtの範囲→xの範囲
練習問題
- (1) 3^x<81 (2) (1/2)^(x+1)≥4 を解きなさい。
- 9^x−10×3^x+9≤0 を解きなさい。
- 4^x−2^(x+2)>0 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：(1) x<4 (2) x≤−3
- 解答：0≤x≤2
解説：t=3^x。(t−1)(t−9)≤0→1≤t≤9=3²→0≤x≤2。 - 解答：x>2
解説：(2^x)²−4×2^x>0→t(t−4)>0→t>4=2²→x>2。