指数関数 まとめと演習
指数の計算・グラフ・方程式・不等式の総合演習。
📘 例題①
f(x)=9^x−2×3^x の最小値を求めなさい。
解答：t=3^x（t>0）。f=t²−2t=(t−1)²−1。最小値 −1（t=1、x=0）
f(x)=9^x−2×3^x の最小値を求めなさい。
解答：t=3^x（t>0）。f=t²−2t=(t−1)²−1。最小値 −1（t=1、x=0）
📘 例題②
a^x=5かつa^y=3のとき a^(2x−3y) を求めなさい。
解答：(a^x)²/(a^y)³ = 25/27
a^x=5かつa^y=3のとき a^(2x−3y) を求めなさい。
解答：(a^x)²/(a^y)³ = 25/27
💡 まとめ
- 指数拡張：a^(m/n)=(ⁿ√a)ᵐ
- グラフ：a>1で増加、0<a<1で減少
- 方程式・不等式：底そろえ→a>1か否かで不等号向き決定
- 置換：t=2^x（t>0）で2次に帰着
練習問題
- 2^x=3のとき 8^x+8^(−x) を求めなさい。
- f(x)=4^x−2^(x+1)+2 の最小値を求めなさい。
- 4^x−2^(x+3)+12≤0 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：730/27
解説：8^x=(2^x)³=27、8^(−x)=1/27。和=27+1/27=730/27。 - 解答：最小値 1（t=2^x、f=(t−1)²+1、t=1で最小）
- 解答：1≤x≤log₂6
解説：t=2^x（t>0）。4^x−2^(x+3)+12=t²−8t+12≤0→(t−2)(t−6)≤0→2≤t≤6。t=2^x なので 2≤2^x→x≥1、2^x≤6→x≤log₂6（≒2.58）。よって 1≤x≤log₂6。