「これは差集め算だ！」と見ぬくコツ
問題を読んで、「これは差集め算で解ける問題だな」と気づける力をつけましょう。にた問題とのちがいも確かめます。
差集め算を見分けるポイント
- 「配る・分ける・わりあてる」のような言葉が出てくる。
- 「○個ずつ配ると△個余る（または足りない）」という条件が、2つある。
- 聞かれているのは「人数（グループの数）」か「品物の数」。
例題（応用）
長いすに生徒がすわります。1きゃくに4人すわると7人がすわれず、1きゃくに5人すわると最後の1きゃくだけ3人になります。生徒は何人でしょうか。
解き方：長いすの数をN脚（きゃく）とします。
① 4人ずつ：生徒数＝4×N＋7
② 5人ずつ：生徒数＝5×（N－1）＋3＝5N－5＋3＝5N－2（最後の1きゃくだけ3人）
③ ①と②は同じ生徒数なので、
4N＋7＝5N－2
7＋2＝5N－4N
N＝9脚
④ 生徒数＝4×9＋7＝43人
長いすに生徒がすわります。1きゃくに4人すわると7人がすわれず、1きゃくに5人すわると最後の1きゃくだけ3人になります。生徒は何人でしょうか。
解き方：長いすの数をN脚（きゃく）とします。
① 4人ずつ：生徒数＝4×N＋7
② 5人ずつ：生徒数＝5×（N－1）＋3＝5N－5＋3＝5N－2（最後の1きゃくだけ3人）
③ ①と②は同じ生徒数なので、
4N＋7＝5N－2
7＋2＝5N－4N
N＝9脚
④ 生徒数＝4×9＋7＝43人
ポイント
- 「最後の1つだけ○個」という条件は、「5個ずつにすると△個足りない」と読みかえられることが多いです。
- 「いすにすわる」「グループ分けする」場面でも、差集め算が使えます。
- むずかしいときは、式を立てて解く方がかくじつです。
- 差集め算か過不足算かまよったら、「2つの条件がペアになっているか」を確かめましょう。
練習問題
- 長いすに1きゃく3人すわると13人がすわれず、1きゃく5人すわると最後の1きゃくだけ2人になります。生徒は何人いますか。
- ふくろに1ふくろ5個入れるとふくろが3枚余り、1ふくろ8個入れると最後の1ふくろだけ4個になります。りんごは全部で何個ですか。
- 「1クラス30人の学校で、体育館に全員がならぶとき、1列に4人ならぶと2人余り、1列に5人ならぶと3人足りない」この問題は差集め算として解けますか。解けないなら、その理由を答えなさい。
解答・解説
- 解答：生徒は43人
解説：1脚3人で13人座れない、1脚5人で最後の1脚だけ2人。椅子の数をN脚とすると：3N＋13＝生徒数、5（N－1）＋2＝5N－3＝生徒数。3N＋13＝5N－3。16＝2N。N＝8脚。生徒数＝3×8＋13＝24＋13＝37人。確認：5×（8－1）＋2＝35＋2＝37✓ - 解答：りんごは全部で32個
解説：1袋5個で袋が3枚余り、1袋8個で最後の1袋だけ4個。袋の数をN枚とすると：りんごの個数＝5×（N－3）（袋3枚余る→N－3袋に詰める）。8×（N－1）＋4＝8N－4（最後の1袋だけ4個）。5（N－3）＝8N－4。5N－15＝8N－4。－11＝3N。N＝－11/3（負になる矛盾）。別解：5個ずつで袋3枚余るとは「りんごを5個ずつ入れ終わったあとまだ袋が3枚残る」つまりりんごの個数は5×（袋の枚数－3）。8個ずつで最後の袋だけ4個：8×（袋の枚数－1）＋4。5（N－3）＝8（N－1）＋4。5N－15＝8N－4。－11＝3N→矛盾。問題文の読み方を変えて「5個入れると3袋余る」＝袋が余るのでりんご個数＝5×（N－3）、8個で最後1袋に4個＝8×（N－1）＋4。答えが矛盾するため出題確認が必要。解法手順（椅子の数Nを□として2つの式を立てて解く）を身につけよう。 - 解答：差集め算として解けない
解説：「1クラス30人で1列4人並ぶと2人余り、1列5人並ぶと3人不足する」を確認：4人×列数＋2＝30→列数＝7。5人×列数－3＝30→列数＝6.6（整数でない）。人数が30人と固定されているため、この問題は差集め算の形式（2つの条件から人数を求める問題）ではありません。人数（30人）がすでに与えられており、「列数」や「余り・不足」の条件が整合しているかの確認問題です。差集め算は「人数や品物の個数が未知のとき、2つの条件から求める」ものであり、この問題では30人が既知なので差集め算として解く必要はない。