倍数算② 「ちがいが変わらない」ことをうまく使う
倍数算では、「2人のちがいは変わらない」場合や「合計は変わらない」場合があります。それを上手に使うと、すばやく解ける問題があります。
「ちがい」と「合計」のどちらが変わらない？
2人の間でお金を行き来させるだけのとき（外からお金が入らない場合）は、次のようになります。
- A＋Bの合計は変わらない。
- A－Bのちがいは、わたした金額の2倍変わります（AはNへって、BはNふえるので、ちがいは2Nだけ変わる）。
📘 例題
兄と弟のお金の比は4：1でした。兄が弟に600円あげたら、比が2：1になりました。今の兄のお金はいくらでしょうか。
解き方：
① 変化前：兄＝4k、弟＝k
② 変化後：兄＝4k－600、弟＝k＋600
③ 比が2：1なので、（4k－600）：（k＋600）＝2：1
1×（4k－600）＝2×（k＋600）
4k－600＝2k＋1200
2k＝1800
k＝900
④ 今の兄＝4×900－600＝3600－600＝3000円
兄と弟のお金の比は4：1でした。兄が弟に600円あげたら、比が2：1になりました。今の兄のお金はいくらでしょうか。
解き方：
① 変化前：兄＝4k、弟＝k
② 変化後：兄＝4k－600、弟＝k＋600
③ 比が2：1なので、（4k－600）：（k＋600）＝2：1
1×（4k－600）＝2×（k＋600）
4k－600＝2k＋1200
2k＝1800
k＝900
④ 今の兄＝4×900－600＝3600－600＝3000円
比の「クロス計算」をおぼえよう
「a：b＝c：d」のときには、「外がわどうし」と「内がわどうし」をかけたものが等しくなります。これを使うと、計算が楽になることがあります。
（変化前の大きい量）×（変化後の小さい比）＝（変化後の大きい量）×（変化前の小さい比）
💡 ポイント
- はじめの比を使って「4k」「k」のように書きあらわします。
- 「外がわ×外がわ＝内がわ×内がわ」（比のクロス計算）で式をかんたんに作れます。
- 答えが出たら、変化前と変化後の両方の比が合うかをたしかめましょう。
練習問題
- AとBの枚数の比が3：1でした。AがBに30枚わたしたら比が3：2になりました。今のBの枚数を求めなさい。
- PとQのお金の比は5：2でした。PがQに1000円あげると比が3：2になりました。今のQのお金を求めなさい。
- 2つの箱AとBにボールが入っていて、比は7：3です。AからBに20個移すと比が3：2になりました。はじめのAのボールの個数を求めなさい。