方程式⑤ 分数を含む方程式と比例式
方程式の解き方の総まとめとして、分数を含む方程式 と 比例式 を学びます。分母を払う工夫と、比例式の重要な性質を身につけましょう。
分数を含む方程式（分母を払う）
分数が含まれているときは、両辺に分母の最小公倍数をかけて分母を払い、整数係数の方程式に直すのが基本です。
例：x/2 + 1 = 4 の解き方
両辺に 2 をかける → 2×(x/2) + 2×1 = 2×4 → x + 2 = 8 → x = 6
📘 例題①
次の方程式を解きなさい：x/3 + 1/2 = 5/6
解答：
分母 3、2、6 の最小公倍数は 6。両辺に 6 をかける。
6×(x/3) + 6×(1/2) = 6×(5/6)
2x + 3 = 5
2x = 2 → x = 1
次の方程式を解きなさい：x/3 + 1/2 = 5/6
解答：
分母 3、2、6 の最小公倍数は 6。両辺に 6 をかける。
6×(x/3) + 6×(1/2) = 6×(5/6)
2x + 3 = 5
2x = 2 → x = 1
📘 例題②
次の方程式を解きなさい：(x+1)/2 = (2x − 3)/5
解答：
分母 2、5 の最小公倍数は 10。両辺に 10 をかける。
10×(x+1)/2 = 10×(2x−3)/5
5(x+1) = 2(2x−3)
5x + 5 = 4x − 6
5x − 4x = −6 − 5 → x = −11
次の方程式を解きなさい：(x+1)/2 = (2x − 3)/5
解答：
分母 2、5 の最小公倍数は 10。両辺に 10 をかける。
10×(x+1)/2 = 10×(2x−3)/5
5(x+1) = 2(2x−3)
5x + 5 = 4x − 6
5x − 4x = −6 − 5 → x = −11
注意：分子にかっこを忘れずに付ける！ (x+1) が分子のとき、5 を分配する相手は x+1 全体です。
比例式とその性質
a : b = c : d のような等しい比で結ばれた式を 比例式 といいます。比例式には次の性質があります。
a : b = c : d ⇔ ad = bc（外側×外側 ＝ 内側×内側）
これを使えば、文字を含む比例式も方程式として解けます。
📘 例題③
次の比例式を解きなさい：x : 6 = 8 : 12
解答：
外側×外側 ＝ 内側×内側 より
12x = 6 × 8 = 48
x = 4
次の比例式を解きなさい：x : 6 = 8 : 12
解答：
外側×外側 ＝ 内側×内側 より
12x = 6 × 8 = 48
x = 4
💡 ポイント
- 分数を含む方程式：両辺に分母の最小公倍数をかけて分母を払う
- 分子が多項式のときは、分母を払ったあと必ずかっこを付ける
- 比例式 a:b = c:d ⇔ ad = bc を使えば方程式に直せる
- 解いたら必ず元の式に代入して確かめると安心
練習問題
- 次を解きなさい：x/4 − x/6 = 1
- 次を解きなさい：(2x − 1)/3 = (x + 2)/4
- 次の比例式を解きなさい：(x + 1) : 5 = 4 : 2
解答・解説
- 解答：x = 12
解説：両辺に12をかける。3x − 2x = 12 → x = 12。 - 解答：x = 2
解説：両辺に12をかける。4(2x−1) = 3(x+2) → 8x − 4 = 3x + 6 → 5x = 10 → x = 2。 - 解答：x = 9
解説：2(x+1) = 5×4 → 2x + 2 = 20 → 2x = 18 → x = 9。