方程式の利用② 個数・代金の問題
方程式の文章題で最もよく出るのが、個数と代金 に関する問題です。「単価 × 個数 ＝ 代金」「合計の個数」「合計の代金」の関係をうまく使って方程式を作ります。
つるかめ算タイプ
「2種類の物を合わせて○個買って、代金が△円」というタイプの問題は、片方の個数を x として、もう片方を「合計 − x」と表すのが定石です。
📘 例題①
1個 70 円のお菓子と 1個 50 円のお菓子を合わせて 15 個買って、代金は 870 円でした。70 円のお菓子は何個買いましたか。
解答：
① 70 円のお菓子を x 個、50 円のお菓子を (15 − x) 個とおく
② 代金の合計：70x + 50(15 − x) = 870
③ 解く：70x + 750 − 50x = 870 → 20x = 120 → x = 6
70 円のお菓子は 6 個。
1個 70 円のお菓子と 1個 50 円のお菓子を合わせて 15 個買って、代金は 870 円でした。70 円のお菓子は何個買いましたか。
解答：
① 70 円のお菓子を x 個、50 円のお菓子を (15 − x) 個とおく
② 代金の合計：70x + 50(15 − x) = 870
③ 解く：70x + 750 − 50x = 870 → 20x = 120 → x = 6
70 円のお菓子は 6 個。
過不足の問題
「○個ずつ配ると△個あまる／△個足りない」というパターンは、物の 総数 を2通りの式で表して等式を作ります。
📘 例題②
あめを子どもに配ります。1 人に 6 個ずつ配ると 4 個あまり、1 人に 7 個ずつ配ると 3 個足りません。子どもの人数とあめの数を求めなさい。
解答：
① 子どもの人数を x 人とおく
② あめの総数は
「6 個ずつ配ると 4 個あまる」 → 6x + 4
「7 個ずつ配ると 3 個足りない」 → 7x − 3
③ どちらも同じ「あめの総数」なので等式：6x + 4 = 7x − 3
④ 解く：−x = −7 → x = 7
⑤ あめの個数：6×7 + 4 = 46（個）
子ども 7 人、あめ 46 個。
あめを子どもに配ります。1 人に 6 個ずつ配ると 4 個あまり、1 人に 7 個ずつ配ると 3 個足りません。子どもの人数とあめの数を求めなさい。
解答：
① 子どもの人数を x 人とおく
② あめの総数は
「6 個ずつ配ると 4 個あまる」 → 6x + 4
「7 個ずつ配ると 3 個足りない」 → 7x − 3
③ どちらも同じ「あめの総数」なので等式：6x + 4 = 7x − 3
④ 解く：−x = −7 → x = 7
⑤ あめの個数：6×7 + 4 = 46（個）
子ども 7 人、あめ 46 個。
代金と所持金
「○円を持っていて、△を××個買ったらおつりが□円」というパターンも頻出です。「持っていたお金 ＝ 代金 ＋ おつり」の関係を使います。
📘 例題③
ある人が 1000 円を持って買い物に行きました。1本 80 円のジュースを x 本買ったところ、おつりが 200 円でした。x を求めなさい。
解答：
等式：1000 ＝ 80x + 200
80x = 800 → x = 10（本）
ある人が 1000 円を持って買い物に行きました。1本 80 円のジュースを x 本買ったところ、おつりが 200 円でした。x を求めなさい。
解答：
等式：1000 ＝ 80x + 200
80x = 800 → x = 10（本）
💡 ポイント
- つるかめ算：片方を x、もう片方を「合計 − x」と置く
- 過不足：物の総数を2通りに表して等式
- 持っていたお金 ＝ 代金 ＋ おつり
- 答えが整数や正の数になるか確かめる
練習問題
- 1個 100 円と 1個 150 円のおにぎりを合わせて 8 個買って、代金は 950 円でした。100 円のおにぎりは何個買いましたか。
- えんぴつを子どもに配ります。1人に 5 本ずつ配ると 2 本あまり、6 本ずつ配ると 3 本足りません。子どもの人数を求めなさい。
- 2000 円を持って買い物に行き、1個 240 円の品物を x 個買ったところ、おつりが 80 円でした。x を求めなさい。
解答・解説
- 解答：5 個
解説：100x + 150(8−x) = 950 → 100x + 1200 − 150x = 950 → −50x = −250 → x = 5。 - 解答：5人
解説：5x + 2 = 6x − 3 → −x = −5 → x = 5。 - 解答：x = 8
解説：2000 = 240x + 80 → 240x = 1920 → x = 8。