比例と反比例④ 反比例の式と性質
2つの量が 反比例 するとは、一方が2倍、3倍…になると、もう一方が 1/2倍、1/3倍…になる関係です。式で書くと y = a/x（a ≠ 0）。比例とちがって直線にはなりません。
反比例の式
y が x に反比例するとき、
y = a/x （a は比例定数。a ≠ 0、x ≠ 0）
これは xy = a とも書けます。「2つの量の積が一定」という関係です。
- 例：面積が 12 cm² の長方形の縦 x cm と横 y cm → xy = 12 → y = 12/x
- 例：道のり 60 km を時速 x km で走るときの時間 y 時間 → y = 60/x
📘 例題①
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 3 です。
(1) y を x の式で表しなさい。
(2) x = −6 のときの y の値を求めなさい。
解答：
(1) y = a/x に x=4、y=3 を代入：3 = a/4 → a = 12。よって y = 12/x
(2) y = 12/(−6) = −2
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 3 です。
(1) y を x の式で表しなさい。
(2) x = −6 のときの y の値を求めなさい。
解答：
(1) y = a/x に x=4、y=3 を代入：3 = a/4 → a = 12。よって y = 12/x
(2) y = 12/(−6) = −2
反比例の性質
- x y ＝ a（一定）：x と y の積が常に比例定数 a になる
- x が 2 倍、3 倍 になると、y は 1/2 倍、1/3 倍 になる
- x = 0 を入れることはできない（分母が0になる）
- a の符号と各点の象限の関係：a＞0 なら xy＞0 で第1・3象限、a＜0 なら第2・4象限
📘 例題②
次のうち、y が x に反比例するものを選び、比例定数を答えなさい。
ア) y = 3x イ) y = 6/x ウ) y = x + 2 エ) xy = −10
解答：
反比例の式は y = a/x（または xy = a）の形。
イ) y = 6/x（比例定数 6）
エ) xy = −10 → y = −10/x（比例定数 −10）
ア) は比例、ウ) はどちらでもない。
次のうち、y が x に反比例するものを選び、比例定数を答えなさい。
ア) y = 3x イ) y = 6/x ウ) y = x + 2 エ) xy = −10
解答：
反比例の式は y = a/x（または xy = a）の形。
イ) y = 6/x（比例定数 6）
エ) xy = −10 → y = −10/x（比例定数 −10）
ア) は比例、ウ) はどちらでもない。
💡 ポイント
- 反比例の式：y = a/x（または xy = a）。a は比例定数
- x と y の積はつねに a で一定
- x = 0 はとれない（分母0は禁止）
- x が2倍になると y は1/2倍になる（積が一定）
練習問題
- y は x に反比例し、x = 3 のとき y = −8 です。y を x の式で表しなさい。
- y = 24/x について、x = −6 のときの y の値、y = 4 のときの x の値をそれぞれ求めなさい。
- 面積 36 cm² の長方形の縦 x cm、横 y cm の関係を式で表しなさい。また x = 9 のときの y を求めなさい。
解答・解説
- 解答：y = −24/x
解説：y=a/x に代入：−8 = a/3 → a = −24。 - 解答：x = −6 のとき y = −4、y = 4 のとき x = 6
解説：y = 24/(−6) = −4。4 = 24/x → x = 6。 - 解答：y = 36/x、x=9 で y = 4
解説：xy = 36 → y = 36/x。9 × y = 36 → y = 4。