おうぎ形③ 弧の長さの公式
おうぎ形の 弧の長さ を求める公式を学びます。「中心角は円全体の何分の1か」を考えれば自然に式が導けます。
弧の長さの公式
半径 r、中心角 a 度のおうぎ形の弧の長さ ℓ は、
ℓ ＝ 2πr × (a/360)
意味：おうぎ形の弧は、半径 r の円周（2πr）のうち、中心角 a 度がしめる割合（a/360）にあたる部分です。
📘 例題①
半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
ℓ = 2π × 6 × (60/360) = 12π × (1/6) = 2π（cm）
半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
ℓ = 2π × 6 × (60/360) = 12π × (1/6) = 2π（cm）
よく使う中心角の弧の長さ
中心角ごとの「円周のうちの割合」をおぼえると速い。
・30°：1/12 ・45°：1/8 ・60°：1/6 ・90°：1/4 ・120°：1/3
・180°：1/2（半円） ・270°：3/4 ・360°：1（全円）
📘 例題②
半径 8 cm のおうぎ形について、次の中心角のときの弧の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
(1) 中心角 90° (2) 中心角 135°
解答：
円周 = 2π×8 = 16π cm。
(1) ℓ = 16π × (90/360) = 16π × (1/4) = 4π（cm）
(2) ℓ = 16π × (135/360) = 16π × (3/8) = 6π（cm）
半径 8 cm のおうぎ形について、次の中心角のときの弧の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
(1) 中心角 90° (2) 中心角 135°
解答：
円周 = 2π×8 = 16π cm。
(1) ℓ = 16π × (90/360) = 16π × (1/4) = 4π（cm）
(2) ℓ = 16π × (135/360) = 16π × (3/8) = 6π（cm）
逆に弧の長さから中心角を求める
弧の長さがわかれば、中心角を逆算できます。
a/360 ＝ ℓ / (2πr) → a ＝ 360 × ℓ/(2πr)
📘 例題③
半径 5 cm のおうぎ形の弧の長さが 2π cm でした。中心角を求めなさい。
解答：
全円周 = 2π×5 = 10π cm。
a/360 = 2π/10π = 1/5 → a = 360 × 1/5 = 72°
半径 5 cm のおうぎ形の弧の長さが 2π cm でした。中心角を求めなさい。
解答：
全円周 = 2π×5 = 10π cm。
a/360 = 2π/10π = 1/5 → a = 360 × 1/5 = 72°
💡 ポイント
- 弧の長さ ℓ = 2πr × (a/360)
- 「円周 × 中心角の割合」と覚える
- 主要な中心角の割合（90°→1/4、60°→1/6）を覚えておくと早い
- 弧から中心角を求めるには a = 360 × ℓ/(2πr)
練習問題
- 半径 9 cm、中心角 120° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
- 半径 6 cm、中心角 150° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
- 半径 4 cm のおうぎ形の弧の長さが 3π cm のとき、中心角を求めなさい。
解答・解説
- 解答：6π cm
解説：ℓ = 2π×9×120/360 = 18π × 1/3 = 6π。 - 解答：5π cm
解説：ℓ = 2π×6×150/360 = 12π × 5/12 = 5π。 - 解答：135°
解説：全円周 = 8π。a/360 = 3π/8π = 3/8 → a = 360 × 3/8 = 135°。