多項式の展開② 乗法公式(x+a)(x+b)
毎回4項を計算するのは大変なので、よく出てくる形は公式として覚えてしまいましょう。最初の公式は次のとおりです。
公式①：(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
「2つの定数の和を x の係数、積を定数項」にすればよい、というシンプルなルール。
- (x + 2)(x + 5) = x² + (2+5)x + 2×5 = x² + 7x + 10
- (x − 3)(x + 7) = x² + (−3+7)x + (−3)×7 = x² + 4x − 21
- (x − 4)(x − 6) = x² + (−4−6)x + (−4)×(−6) = x² − 10x + 24
📘 例題①
次を展開しなさい。
(1) (x + 6)(x − 2) (2) (x − 8)(x − 3)
解答：
(1) 和 6+(−2)=4、積 6×(−2)=−12 → x² + 4x − 12
(2) 和 −8+(−3)=−11、積 (−8)×(−3)=24 → x² − 11x + 24
次を展開しなさい。
(1) (x + 6)(x − 2) (2) (x − 8)(x − 3)
解答：
(1) 和 6+(−2)=4、積 6×(−2)=−12 → x² + 4x − 12
(2) 和 −8+(−3)=−11、積 (−8)×(−3)=24 → x² − 11x + 24
文字が2種類のときも同じ
(x + a)(x + b) の x が「他の文字」でも、a, b が「文字」でも同じ公式が使えます。
(x + 2y)(x + 3y) = x² + (2y + 3y)x + 2y×3y = x² + 5xy + 6y²
📘 例題②
(a − 4b)(a + 9b) を展開しなさい。
解答：和 −4b+9b=5b、積 (−4b)×9b=−36b² → a² + 5ab − 36b²
(a − 4b)(a + 9b) を展開しなさい。
解答：和 −4b+9b=5b、積 (−4b)×9b=−36b² → a² + 5ab − 36b²
💡 ポイント
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- x の係数は「2数の和」、定数項は「2数の積」
- 符号を込みで a, b と見なすこと。例：(x−3)なら a=−3
- x が他の文字でも、a, b が文字でも、形が同じなら同じ公式
練習問題
- (x + 4)(x + 9) を展開しなさい。
- (x − 5)(x + 8) を展開しなさい。
- (a − 7b)(a − 2b) を展開しなさい。
解答・解説
- 解答：x² + 13x + 36
解説：和 4+9=13、積 4×9=36。 - 解答：x² + 3x − 40
解説：和 −5+8=3、積 (−5)×8=−40。 - 解答：a² − 9ab + 14b²
解説：和 −7b+(−2b)=−9b、積 (−7b)×(−2b)=14b²。