多項式の展開③ 平方の公式
(x + a)² や (x − a)² のような平方（2乗）の展開はとてもよく出てきます。形を覚えてしまえば瞬時に展開できます。
公式②：(x + a)² = x² + 2ax + a²
公式③：(x − a)² = x² − 2ax + a²
覚え方：「最初の項の2乗 ＋（または −）両方の積の2倍 ＋ 後ろの項の2乗」。真ん中の項の符号は元の式の符号と同じです。
- (x + 3)² = x² + 2×3×x + 3² = x² + 6x + 9
- (x − 5)² = x² − 2×5×x + 5² = x² − 10x + 25
- (2x + 7)² = (2x)² + 2×7×2x + 7² = 4x² + 28x + 49
📘 例題①
次を展開しなさい。
(1) (x + 8)² (2) (3x − 4)²
解答：
(1) x² + 2×8×x + 8² = x² + 16x + 64
(2) (3x)² − 2×4×3x + 4² = 9x² − 24x + 16
次を展開しなさい。
(1) (x + 8)² (2) (3x − 4)²
解答：
(1) x² + 2×8×x + 8² = x² + 16x + 64
(2) (3x)² − 2×4×3x + 4² = 9x² − 24x + 16
よくあるミスに注意
(x + a)² ≠ x² + a²。真ん中の2ax を忘れないこと。
たとえば (x + 3)² = x² + 9 ではなく x² + 6x + 9。
また、係数のある文字を2乗するときは係数も2乗します。(2x)² = 4x²（2² × x²）。
📘 例題②
(a − 5b)² を展開しなさい。
解答：a² − 2×5b×a + (5b)² = a² − 10ab + 25b²
(a − 5b)² を展開しなさい。
解答：a² − 2×5b×a + (5b)² = a² − 10ab + 25b²
💡 ポイント
- (x+a)² = x² + 2ax + a²、(x−a)² = x² − 2ax + a²
- 真ん中の項「2ax」を絶対に忘れない
- 係数や文字がついていても 2乗するときは丸ごと 2乗（係数も）
- (a+b)² や (a−b)² の形も同じ公式
練習問題
- (x + 7)² を展開しなさい。
- (2x − 3)² を展開しなさい。
- (4a + 5b)² を展開しなさい。
解答・解説
- 解答：x² + 14x + 49
解説：x² + 2×7×x + 49 = x² + 14x + 49。 - 解答：4x² − 12x + 9
解説：(2x)² − 2×3×2x + 9 = 4x² − 12x + 9。 - 解答：16a² + 40ab + 25b²
解説：(4a)² + 2×4a×5b + (5b)² = 16a² + 40ab + 25b²。