実数① 数の分類と実数の性質
高校数学では、これまで学んできた数を整理し直すところから始めます。数の世界の全体像を眺めて、それぞれの数がどこに位置するかを把握しましょう。
数の分類
- 自然数：1, 2, 3, …（正の整数）
- 整数：…, −2, −1, 0, 1, 2, …
- 有理数：分数 a/b（a, b は整数、b ≠ 0）で表せる数
- 無理数：分数で表せない実数。例：√2, π, √3
- 実数：有理数と無理数を合わせたもの
有理数と無理数
有理数を小数で表すと 有限小数か 循環小数になります。無理数は 循環しない無限小数。√2 = 1.41421356… のようにパターンを持ちません。
📘 例題①
次の数を、自然数・整数・有理数・無理数・実数のうち当てはまるものすべて答えなさい。
(1) 5 (2) −3 (3) 2/7 (4) √5 (5) 0
解答：
(1) 自然数・整数・有理数・実数
(2) 整数・有理数・実数
(3) 有理数・実数
(4) 無理数・実数
(5) 整数・有理数・実数
次の数を、自然数・整数・有理数・無理数・実数のうち当てはまるものすべて答えなさい。
(1) 5 (2) −3 (3) 2/7 (4) √5 (5) 0
解答：
(1) 自然数・整数・有理数・実数
(2) 整数・有理数・実数
(3) 有理数・実数
(4) 無理数・実数
(5) 整数・有理数・実数
循環小数の分数表現
x = 0.333… とおくと 10x = 3.333…。10x − x = 3 → 9x = 3 → x = 1/3。
📘 例題②
循環小数 0.272727… を分数で表しなさい。
解答：x = 0.272727… とおくと 100x = 27.272727…。 99x = 27 → x = 3/11
循環小数 0.272727… を分数で表しなさい。
解答：x = 0.272727… とおくと 100x = 27.272727…。 99x = 27 → x = 3/11
💡 ポイント
- 自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数
- 有理数 ⇔ 有限小数 or 循環小数
- 無理数 ⇔ 循環しない無限小数
- 循環小数は「10倍してから引く」で分数化
練習問題
- 次の数のうち、無理数をすべて選びなさい：3, √4, √7, π, 0.5, 22/7
- 循環小数 0.6666… を分数で表しなさい。
- 循環小数 0.121212… を分数で表しなさい。
解答・解説
- 解答：√7, π
解説：√4 = 2 は有理数。22/7 は分数なので有理数。 - 解答：2/3
解説：10x − x = 6 → 9x = 6 → x = 2/3。 - 解答：4/33
解説：100x − x = 12 → 99x = 12 → x = 4/33。