実数④ 対称式と基本対称式
x, y を入れかえても変わらない式を 対称式 といい、x+y と xy（基本対称式）で表せます。
基本対称式での表現
- x² + y² = (x + y)² − 2xy
- (x − y)² = (x + y)² − 4xy
- x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)
📘 例題①
x + y = 5、xy = 3 のとき (1) x² + y² (2) x³ + y³
解答：(1) 25 − 6 = 19 (2) 125 − 45 = 80
x + y = 5、xy = 3 のとき (1) x² + y² (2) x³ + y³
解答：(1) 25 − 6 = 19 (2) 125 − 45 = 80
共役な無理数
x = 2 + √3、y = 2 − √3 の和と積は有理数になります。
📘 例題②
x = 2 + √3、y = 2 − √3 のとき (1) x+y (2) xy (3) x² + y²
解答：(1) 4 (2) 4 − 3 = 1 (3) 16 − 2 = 14
x = 2 + √3、y = 2 − √3 のとき (1) x+y (2) xy (3) x² + y²
解答：(1) 4 (2) 4 − 3 = 1 (3) 16 − 2 = 14
💡 ポイント
- x+y、xy が基本対称式
- x² + y² = (x+y)² − 2xy は必須
- x³ + y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)
- 共役な無理数 a ± √b の和は 2a、積は a² − b
練習問題
- x + y = 4、xy = −2 のとき x² + y² を求めなさい。
- x = 3 + √2、y = 3 − √2 のとき x+y と xy を求めなさい。
- x + y = 6、xy = 5 のとき x³ + y³ を求めなさい。
解答・解説
- 解答：20
解説：16 − 2×(−2) = 20。 - 解答：x+y=6、xy=7
解説：和 6、積 9 − 2 = 7。 - 解答：126
解説：216 − 90 = 126。