因数分解⑤ 複数文字の式・3次の因数分解
2つ以上の文字を含む式や3次式の因数分解を扱います。
1つの文字について整理する
複数の文字が混在する式は、最も次数の低い文字について整理すると見通しが立ちます。
📘 例題①
x² + xy − 2x − 2y を因数分解しなさい。
解答：y について整理：(x − 2)y + (x² − 2x) = (x − 2)y + x(x − 2) = (x − 2)(x + y)
x² + xy − 2x − 2y を因数分解しなさい。
解答：y について整理：(x − 2)y + (x² − 2x) = (x − 2)y + x(x − 2) = (x − 2)(x + y)
3次の公式
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
📘 例題②
(1) x³ + 8 (2) 27x³ − 1
解答：
(1) x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
(2) (3x)³ − 1³ = (3x − 1)(9x² + 3x + 1)
(1) x³ + 8 (2) 27x³ − 1
解答：
(1) x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
(2) (3x)³ − 1³ = (3x − 1)(9x² + 3x + 1)
💡 ポイント
- 複数文字の式は1つの文字について整理
- 3次の和・差は公式 a³ ± b³ を適用
- 2乗の中の符号は和ならマイナス、差ならプラス
練習問題
- ab − a − b + 1 を因数分解しなさい。
- x³ − 27 を因数分解しなさい。
- 8x³ + 125 を因数分解しなさい。
解答・解説
- 解答：(a − 1)(b − 1)
解説：a(b − 1) − (b − 1) = (b − 1)(a − 1)。 - 解答：(x − 3)(x² + 3x + 9)
解説：a³ − b³ の公式。 - 解答：(2x + 5)(4x² − 10x + 25)
解説：(2x)³ + 5³ で公式適用。