二次関数の最大最小③ 文字定数を含む場合
変域の端や頂点の位置がパラメータ a によって変わる場合、場合分けが必要です。
📘 例題①
y = (x - a)² + 1（0 ≤ x ≤ 2）の最小値を求めなさい。
解答（場合分け）：
(i) a < 0：頂点が変域左外 → x = 0 で最小。最小値 a² + 1。
(ii) 0 ≤ a ≤ 2：頂点が変域内 → x = a で最小。最小値 1。
(iii) a > 2：頂点が変域右外 → x = 2 で最小。最小値 (2-a)² + 1。
y = (x - a)² + 1（0 ≤ x ≤ 2）の最小値を求めなさい。
解答（場合分け）：
(i) a < 0：頂点が変域左外 → x = 0 で最小。最小値 a² + 1。
(ii) 0 ≤ a ≤ 2：頂点が変域内 → x = a で最小。最小値 1。
(iii) a > 2：頂点が変域右外 → x = 2 で最小。最小値 (2-a)² + 1。
💡 ポイント
- 「頂点 a が変域のどこにあるか」で3通り
- 各ケースで端点・頂点の値を計算
練習問題
- y = x² - 2ax + 1（0 ≤ x ≤ 1）の最小値を a で表しなさい。
解答・解説
- 解答：y = (x-a)² + 1 - a²。頂点 x = a。
a < 0 のとき最小値 1（x=0）。0 ≤ a ≤ 1 のとき最小値 1-a²。a > 1 のとき最小値 2-2a（x=1）。