内積⑤ 総合演習
内積に関する応用問題に挑戦します。
三角形の角の cos
📘 例題①
A(1, 1)、B(4, 2)、C(2, 5) について、角 A の cos を求めなさい。
解答：→AB=(3, 1)、→AC=(1, 4)。内積=7、|→AB|=√10、|→AC|=√17。cos A=7/√170
A(1, 1)、B(4, 2)、C(2, 5) について、角 A の cos を求めなさい。
解答：→AB=(3, 1)、→AC=(1, 4)。内積=7、|→AB|=√10、|→AC|=√17。cos A=7/√170
媒介変数 t と内積
📘 例題②
→a=(2, 1)、→b=(1, 3) で、→a + t→b と →a が垂直となる t を求めなさい。
解答：|→a|²+t(→a・→b)=5+5t=0 → t=−1
→a=(2, 1)、→b=(1, 3) で、→a + t→b と →a が垂直となる t を求めなさい。
解答：|→a|²+t(→a・→b)=5+5t=0 → t=−1
射影
→a の →b 方向への射影の長さは (→a・→b)/|→b|。
📘 例題③
→a=(4, 2)、→b=(3, 1) の射影の長さを求めなさい。
解答：→a・→b=14、|→b|=√10。射影=7√10/5
→a=(4, 2)、→b=(3, 1) の射影の長さを求めなさい。
解答：→a・→b=14、|→b|=√10。射影=7√10/5
💡 ポイント
- 三角形の角：cos = (→AB・→AC)/(|→AB||→AC|)
- 垂直条件 → t の方程式
- 射影の長さ：(→a・→b)/|→b|
練習問題
- A(0,0)、B(5,0)、C(3,4) で角 B の cos を求めなさい。
- →a=(3, 1)、→b=(1, 2) で、→a+t→b と →b が垂直となる t を求めなさい。
- →a=(6, 8)、→b=(1, 0) で、→a の →b 方向の射影の長さを求めなさい。
解答・解説
- 解答：√5/5
解説：→BA=(−5,0)、→BC=(−2,4)。内積10、|→BA|=5、|→BC|=2√5。cos B=1/√5=√5/5。 - 解答：t=−1
解説：→a・→b=5、|→b|²=5。5+5t=0。 - 解答：6
解説：→a・→b=6、|→b|=1。