位置ベクトル⑤ 総合演習
これまでの内分・外分・重心の知識を組み合わせて問題を解きます。
位置ベクトルの分解
📘 例題①
三角形 OAB の辺 AB を 2:3 に内分する点 P と、辺 OB の中点 Q をとる。→OA=→a、→OB=→b として →PQ を表しなさい。
解答：→OP=(3→a+2→b)/5、→OQ=→b/2。
→PQ=→OQ−→OP=(→b/2)−(3→a+2→b)/5=(−6→a − 4→b + 5→b)/10×... 通分すると
=(5→b−2(3→a+2→b))/10=(−6→a+→b)/10。よって →PQ=(−3→a+→b/2)/5 = (−6→a + →b)/10。
三角形 OAB の辺 AB を 2:3 に内分する点 P と、辺 OB の中点 Q をとる。→OA=→a、→OB=→b として →PQ を表しなさい。
解答：→OP=(3→a+2→b)/5、→OQ=→b/2。
→PQ=→OQ−→OP=(→b/2)−(3→a+2→b)/5=(−6→a − 4→b + 5→b)/10×... 通分すると
=(5→b−2(3→a+2→b))/10=(−6→a+→b)/10。よって →PQ=(−3→a+→b/2)/5 = (−6→a + →b)/10。
3 点が同一直線上
📘 例題②
A(2, 1)、B(5, 4)、C(k, 10) が一直線上にある k を求めなさい。
解答：→AB=(3, 3)、→AC=(k−2, 9)。平行条件 3×9−3(k−2)=0 → 27=3k−6 → k=11。
A(2, 1)、B(5, 4)、C(k, 10) が一直線上にある k を求めなさい。
解答：→AB=(3, 3)、→AC=(k−2, 9)。平行条件 3×9−3(k−2)=0 → 27=3k−6 → k=11。
重心と分点の組合せ
📘 例題③
A(1, 0)、B(4, 0)、C(2, 3) の三角形について、重心 G の座標を求めよ。また、AG の中点 M を求めよ。
解答：G=((1+4+2)/3, (0+0+3)/3)=(7/3, 1)。
M=((1+7/3)/2, (0+1)/2)=(10/6, 1/2)=(5/3, 1/2)
A(1, 0)、B(4, 0)、C(2, 3) の三角形について、重心 G の座標を求めよ。また、AG の中点 M を求めよ。
解答：G=((1+4+2)/3, (0+0+3)/3)=(7/3, 1)。
M=((1+7/3)/2, (0+1)/2)=(10/6, 1/2)=(5/3, 1/2)
💡 ポイント
- 図形の問題は基本ベクトル →a, →b で表すと見通しが立つ
- 3 点が一直線：→AB ∥ →AC
- 分点公式と重心公式の組合せ問題が頻出
練習問題
- A(2, −1)、B(5, 2)、C(k, 8) が一直線上にある k を求めなさい。
- 三角形 ABC で A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 9) の重心と、辺 BC の中点を結ぶベクトルを求めなさい。
- 三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b。辺 OA を 1:2 に内分する点を P、辺 OB の中点を Q とするとき、→PQ を表しなさい。
解答・解説
- 解答：k=11
解説：→AB=(3,3)、→AC=(k−2,9)。3×9−3(k−2)=0 → k=11。 - 解答：(0, 3/2)→重心(2, 3)、中点(3, 9/2)。ベクトル=(1, 3/2)
解説：重心 G(2,3)、BC の中点 M(3, 9/2)。→GM=(1, 3/2)。 - 解答：→PQ=−→a/3+→b/2=(−2→a+3→b)/6
解説：→OP=→a/3、→OQ=→b/2。→PQ=→OQ−→OP=→b/2−→a/3。