関数の極限① 関数の極限の定義
数列の極限から一歩進み、ここからは関数 f(x) の極限を扱います。x を a に限りなく近づけたときの f(x) の振る舞いを調べます。
関数の極限の定義
x を a に限りなく近づけるとき、f(x) が一定の値 α に限りなく近づくならば
lim_{x→a} f(x) = α と書きます。「x → a」は「x を a に近づける（a そのものとは限らない）」という意味です。
四則の極限
lim f(x) = α、lim g(x) = β のとき：
- lim (f ± g) = α ± β、lim (kf) = kα
- lim (fg) = αβ、lim (f/g) = α/β（β≠0）
連続な関数では lim_{x→a} f(x) = f(a)。
📘 例題①
(1) lim_{x→2} (x² + 3x − 1) (2) lim_{x→0} (x + 5)/(2x + 3)
解答：(1) 代入：4+6−1 = 9 (2) 5/3
(1) lim_{x→2} (x² + 3x − 1) (2) lim_{x→0} (x + 5)/(2x + 3)
解答：(1) 代入：4+6−1 = 9 (2) 5/3
0/0 型の不定形
分母分子がともに 0 → そのままでは代入できません。因数分解で約分。
例：lim_{x→2} (x²−4)/(x−2) = lim (x+2) = 4
📘 例題②
lim_{x→1} (x²−3x+2)/(x−1)
解答：(x−1)(x−2)/(x−1) → x−2 → −1
lim_{x→1} (x²−3x+2)/(x−1)
解答：(x−1)(x−2)/(x−1) → x−2 → −1
💡 ポイント
- x → a は「a に近づける」（a そのものでなくてよい）
- 連続関数では lim f(x) = f(a)
- 0/0 → 因数分解で約分
- √ を含むなら有理化
練習問題
- lim_{x→3} (x²−9)/(x−3)
- lim_{x→0} (√(x+4)−2)/x
- lim_{x→−1} (x²+3x+2)/(x+1)
解答・解説
- 解答：6
(x−3)(x+3)/(x−3) → x+3 → 6。 - 解答：1/4
有理化。1/(√(x+4)+2) → 1/4。 - 解答：1
(x+1)(x+2)/(x+1) → x+2 → 1。