関数の極限③ 三角関数の極限
もっとも重要な公式：lim_{x→0} (sin x)/x = 1（x はラジアン）。
派生公式
- lim_{x→0} x/(sin x) = 1
- lim_{x→0} (tan x)/x = 1
- lim_{x→0} (1 − cos x)/x² = 1/2
- lim_{x→0} (1 − cos x)/x = 0
📘 例題①
(1) lim_{x→0} (sin 3x)/x (2) lim_{x→0} (sin 2x)/(sin 5x)
解答：(1) 3·(sin 3x)/(3x) → 3 (2) 2/5
(1) lim_{x→0} (sin 3x)/x (2) lim_{x→0} (sin 2x)/(sin 5x)
解答：(1) 3·(sin 3x)/(3x) → 3 (2) 2/5
(1 − cos x)/x²
1 − cos x = 2 sin²(x/2) を用いる。
(1 − cos x)/x² = (1/2){sin(x/2)/(x/2)}² → 1/2
📘 例題②
lim_{x→0} (1 − cos 2x)/x²
解答：u=2x：(1−cos u)/(u/2)² = 4·(1−cos u)/u² → 4·(1/2) = 2
lim_{x→0} (1 − cos 2x)/x²
解答：u=2x：(1−cos u)/(u/2)² = 4·(1−cos u)/u² → 4·(1/2) = 2
💡 ポイント
- (sin x)/x → 1（ラジアン！）
- (sin ax)/x → a、(tan ax)/x → a
- (1−cos x)/x² → 1/2
- 定数倍を外に出して公式の形に
練習問題
- lim_{x→0} (sin 5x)/(3x)
- lim_{x→0} (tan x)/(sin 2x)
- lim_{x→0} (1 − cos x)/(x sin x)
解答・解説
- 解答：5/3
(5/3)·(sin 5x)/(5x) → 5/3。 - 解答：1/2
(tan x / x)/(sin 2x / x) → 1/2。 - 解答：1/2
{(1−cos x)/x²}·{x/sin x} → 1/2·1 = 1/2。