関数の極限④ 指数・対数の極限
自然対数の底 e と、それに関連する重要極限を学びます。
指数・対数の挙動
- a>1：lim_{x→∞} a^x = ∞、lim_{x→−∞} a^x = 0
- 0
- a>1：lim_{x→∞} log_a x = ∞、lim_{x→+0} log_a x = −∞
自然対数の底 e
e = lim_{n→∞} (1+1/n)^n = lim_{h→0} (1+h)^{1/h}（≒2.71828）
- lim_{x→0} (e^x − 1)/x = 1
- lim_{x→0} log(1+x)/x = 1（自然対数）
- lim_{x→∞} (1+a/x)^x = e^a
📘 例題①
(1) lim_{x→0} (e^{2x}−1)/x (2) lim_{x→0} log(1+3x)/x
解答：(1) 2·(e^{2x}−1)/(2x) → 2 (2) 3
(1) lim_{x→0} (e^{2x}−1)/x (2) lim_{x→0} log(1+3x)/x
解答：(1) 2·(e^{2x}−1)/(2x) → 2 (2) 3
1^∞ 型
(1+a/x)^x の形に持ち込む。
例：(1+2/x)^x = {(1+2/x)^{x/2}}² → e²
📘 例題②
lim_{x→∞} (1+2/x)^x
解答：u=x/2：{(1+1/u)^u}² → e²
lim_{x→∞} (1+2/x)^x
解答：u=x/2：{(1+1/u)^u}² → e²
💡 ポイント
- e = lim(1+1/n)^n
- (e^x−1)/x → 1、log(1+x)/x → 1
- (1+a/x)^x → e^a
- 「中身」を u と置換して公式の形に
練習問題
- lim_{x→0} (e^{5x}−1)/(2x)
- lim_{x→∞} (1+3/x)^x
- lim_{x→0} log(1+2x)/sin x
解答・解説
- 解答：5/2
(5/2)·(e^{5x}−1)/(5x) → 5/2。 - 解答：e³
{(1+3/x)^{x/3}}³ → e³。 - 解答：2
{log(1+2x)/(2x)·2}/{sin x/x} → 2/1 = 2。