微分法① 微分係数と導関数の定義
関数 y = f(x) の x = a における微分係数 f'(a) は、平均変化率の極限として定義されます。
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) − f(a))/h
すべての x で f'(x) を考えると 導関数 f'(x) が得られます。
📘 例題① 定義に従って f(x)=x² の導関数を求めよ。
解答：(f(x+h)−f(x))/h = ((x+h)²−x²)/h = (2xh+h²)/h = 2x+h
h→0 のとき → f'(x) = 2x
解答：(f(x+h)−f(x))/h = ((x+h)²−x²)/h = (2xh+h²)/h = 2x+h
h→0 のとき → f'(x) = 2x
微分可能と連続
x=a で微分可能 ⇒ x=a で連続。逆は成り立たない（例：y=|x| は 0 で連続だが微分不可能）。
💡 ポイント
- 微分係数 = 接線の傾き
- 定義の形：lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h を覚える
- 連続でも微分可能とは限らない（折れ曲がる点に注意）
練習問題
- f(x) = 3x² の f'(x) を定義に従って求めよ。
- f(x) = 1/x の f'(2) を定義に従って求めよ。
解答・解説
- 解答：6x
(3(x+h)²−3x²)/h = 6x+3h → 6x。 - 解答：−1/4
(1/(2+h)−1/2)/h = −1/(2(2+h)) → −1/4。