対数微分法・逆関数の微分
対数微分法：両辺の log をとってから微分する手法。指数や積商が複雑なときに使う。
例：y = x^x の場合
log y = x·log x → (1/y)·y' = log x + 1 → y' = x^x(log x + 1)
逆関数の微分：y = f(x) の逆関数 x = g(y) について
dx/dy = 1/(dy/dx)
📘 例題① y = (sin x)^x の y' を求めよ。
解答：log y = x·log(sin x)
y'/y = log(sin x) + x·cos x/sin x = log(sin x) + x·cot x
y' = (sin x)^x · {log(sin x) + x·cot x}
解答：log y = x·log(sin x)
y'/y = log(sin x) + x·cos x/sin x = log(sin x) + x·cot x
y' = (sin x)^x · {log(sin x) + x·cot x}
💡 ポイント
- 対数微分法：底や指数に変数があるとき第一選択
- 計算後は y を元の式に戻す
練習問題
- y = x^{cos x} の y'
解答・解説
- 解答：x^{cos x}·{−sin x·log x + cos x/x}
log y = cos x·log x → y'/y = −sin x·log x + cos x/x。