凹凸と変曲点
第2次導関数 f''(x) でグラフの凹凸がわかります。
- f''(x) > 0：下に凸（∪）
- f''(x) < 0：上に凸（∩）
- f''(x) = 0 で符号が変わる点を変曲点という
📘 例題① f(x) = x³ − 3x² の凹凸と変曲点。
解答：f'=3x²−6x、f''=6x−6。f''=0 ⇔ x=1。
x<1：f''<0（上に凸）、x>1：f''>0（下に凸）。
変曲点：(1, −2)
解答：f'=3x²−6x、f''=6x−6。f''=0 ⇔ x=1。
x<1：f''<0（上に凸）、x>1：f''>0（下に凸）。
変曲点：(1, −2)
💡 ポイント
- f''(x) の符号 → 凹凸
- 変曲点ではグラフの曲がり方が反転する
練習問題
- f(x) = x⁴ − 6x² の変曲点を求めよ。
解答・解説
- 解答：(1, −5) と (−1, −5)
f''=12x²−12=12(x−1)(x+1)。