置換積分② 三角・対数の置換
三角関数や対数を含む積分は、適切な置換で簡単になります。
📘 例題① ∫ tan x dx
解答：= ∫ (sin x / cos x) dx。u = cos x、du = −sin x dx。
= −∫ (1/u) du = −log|cos x| + C
解答：= ∫ (sin x / cos x) dx。u = cos x、du = −sin x dx。
= −∫ (1/u) du = −log|cos x| + C
📘 例題② ∫ (log x)/x dx
解答：u = log x、du = dx/x。
∫ u du = u²/2 + C = (log x)²/2 + C
解答：u = log x、du = dx/x。
∫ u du = u²/2 + C = (log x)²/2 + C
💡 ポイント
- f'/f の形 → log|f|
- log や指数を含む形は置換で関数を u に置く
練習問題
- ∫ (2x+3)/(x²+3x+5) dx
解答・解説
- 解答：log|x²+3x+5| + C
分子が分母の微分の形。