立体の体積（断面積積分）
x = t における立体の断面積を S(t) とすると、その立体の体積は
V = ∫_a^b S(x) dx
📘 例題① 底面が半径 r の円、高さ h の円錐の体積。
解答：頂点を原点、軸を x 軸。x の位置の半径は (r/h)x、断面積 S(x) = π(r/h)²x²。
V = ∫_0^h π(r²/h²)x² dx = π(r²/h²)·h³/3 = πr²h/3
解答：頂点を原点、軸を x 軸。x の位置の半径は (r/h)x、断面積 S(x) = π(r/h)²x²。
V = ∫_0^h π(r²/h²)x² dx = π(r²/h²)·h³/3 = πr²h/3
💡 ポイント
- 断面積を x の関数で表す → 積分
練習問題
- 底面 1辺 a の正方形、高さ h の四角錐の体積。
解答・解説
- 解答：a²h/3
S(x) = a²(x/h)²、V = ∫_0^h a²x²/h² dx = a²h/3。