物理への応用：仕事と道のり
位置 x(t) の物体の
道のり = ∫_a^b |v(t)| dt（速度の絶対値の積分）
力 F(x) を x = a から x = b まで物体に加えたときの
仕事 W = ∫_a^b F(x) dx
📘 例題① 速度 v(t) = t² − 4t + 3 m/s で動く物体の t = 0 から t = 3 までの道のり。
解答：v = (t−1)(t−3)。区間 [0,1] で v>0、[1,3] で v<0。
∫_0^1 v dt + ∫_1^3 (−v) dt = (1/3 − 2 + 3) + ((9−18+9) − (1/3−2+3))
= 4/3 + |0 − 4/3| = 4/3 + 4/3 = 8/3 m
解答：v = (t−1)(t−3)。区間 [0,1] で v>0、[1,3] で v<0。
∫_0^1 v dt + ∫_1^3 (−v) dt = (1/3 − 2 + 3) + ((9−18+9) − (1/3−2+3))
= 4/3 + |0 − 4/3| = 4/3 + 4/3 = 8/3 m
💡 ポイント
- 「変位」と「道のり」は違う（道のりは絶対値の積分）
練習問題
- v(t) = 2t − 6 の t=0 から t=4 までの道のり。
解答・解説
- 解答：10
[0,3]でv<0、[3,4]でv>0。∫_0^3(6−2t)dt + ∫_3^4(2t−6)dt = 9 + 1 = 10。