メネラウスの定理
三角形の1辺（または延長）上にない直線が、3辺（または延長）と交わるときの線分比の定理です。
メネラウスの定理
△ABC の辺 BC、CA、AB（または各延長線）上にそれぞれ点 D、E、F があり、これらが一直線上にあるとき：
BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1
（ただし比は有向比、または「辺の外側の点を1つ含む場合」と考えると符号を気にせず使える）
📘 例題①
△ABC の辺 BC を 2:1 に内分する点を D、辺 CA の延長上に CE:EA=3:1 となる点 E をとる。
直線 DE が辺 AB の延長と交わる点 F について AF:FB を求めよ。
メネラウスより：BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1
（2/1）×（3/1）×（AF/FB）= 1 → AF/FB = 1/6
解答：AF:FB = 1:6（F は B より外側）
△ABC の辺 BC を 2:1 に内分する点を D、辺 CA の延長上に CE:EA=3:1 となる点 E をとる。
直線 DE が辺 AB の延長と交わる点 F について AF:FB を求めよ。
メネラウスより：BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1
（2/1）×（3/1）×（AF/FB）= 1 → AF/FB = 1/6
解答：AF:FB = 1:6（F は B より外側）
📘 例題②（三角形の辺の比）
△ABC で BD:DC=1:2、直線 EF（E は CA 上、F は AB の延長）がメネラウスの条件を満たし CE:EA=4:1 とする。AF:FB を求めよ。
(1/2)×(4/1)×(AF/FB)=1 → AF/FB=1/2
解答：AF:FB = 1:2
△ABC で BD:DC=1:2、直線 EF（E は CA 上、F は AB の延長）がメネラウスの条件を満たし CE:EA=4:1 とする。AF:FB を求めよ。
(1/2)×(4/1)×(AF/FB)=1 → AF/FB=1/2
解答：AF:FB = 1:2
💡 チェバとメネラウスの違い
- チェバ：3直線が△の1点で交わる条件 → 比の積=1
- メネラウス：3点が1直線上にある条件 → 比の積=1
- どちらも式の形は同じ。条件（点か直線か）が異なる
- 外分を含む場合、辺の外側に出る点が奇数個あることに注意
練習問題
- △ABC で BD:DC=3:2、CE:EA=1:2 のとき、D、E、F が一直線上にあるとすると AF:FB を求めよ。
- △ABC の辺 AB 上に AF:FB=1:3 となる点 F をとる。直線 CF と、A を通り BC に平行な直線との交点を G とするとき AG:CF を求めよ（メネラウスを使わなくてもよい）。
- △ABC で D は BC の中点。直線 AD と、B を通り AC に平行な線との交点 E について BD:BE をメネラウスを用いて求めよ。
解答・解説
- (3/2)×(1/2)×(AF/FB)=1 → AF/FB=4/3 → AF:FB=4:3
- 相似比で考える。△AFC∽△GFA（AA）より AG/CF=AF/FB=1/3 → AG:CF=1:4（AG は CF の 1/4）
- D は BC の中点なので BD:DC=1:1。△ABE に対してメネラウスで直線 DC（延長）を考えると (BD/DE)×(EC/CA)×(AF/FB)型で進める。別解：AD は中線なので D から平行線の比で BD:BE=1:2