整数の総合問題
これまで学んだ整数の性質を組み合わせた総合問題に挑戦します。
📘 例題①（合同と因数分解の融合）
n³+2n が 3 の倍数であることを示せ。
n³+2n = n(n²+2) = n(n²−1+3) = n(n−1)(n+1)+3n
n(n−1)(n+1) は連続3整数の積 → 3の倍数、3n も3の倍数 → 全体は3の倍数 ■
（別解）n≡0,1,2(mod 3) の各ケースで n³+2n≡0+0=0、1+2=3≡0、8+4=12≡0(mod 3) ■
n³+2n が 3 の倍数であることを示せ。
n³+2n = n(n²+2) = n(n²−1+3) = n(n−1)(n+1)+3n
n(n−1)(n+1) は連続3整数の積 → 3の倍数、3n も3の倍数 → 全体は3の倍数 ■
（別解）n≡0,1,2(mod 3) の各ケースで n³+2n≡0+0=0、1+2=3≡0、8+4=12≡0(mod 3) ■
📘 例題②（ピタゴラス数）
a² + b² = c² を満たす正整数 (a,b,c) で c=5 の場合をすべて求めよ。
a²+b²=25。a≤b として a=1:1+b²=25→b²=24（×）。a=2:4+b²=25→b²=21（×）。a=3:9+16=25→b=4(✓)。
解答：(a,b,c) = (3,4,5) と (4,3,5)
a² + b² = c² を満たす正整数 (a,b,c) で c=5 の場合をすべて求めよ。
a²+b²=25。a≤b として a=1:1+b²=25→b²=24（×）。a=2:4+b²=25→b²=21（×）。a=3:9+16=25→b=4(✓)。
解答：(a,b,c) = (3,4,5) と (4,3,5)
📘 例題③（不等式と整数）
1/x + 1/y = 1/3 を満たす正整数 (x,y)（x≤y）をすべて求めよ。
3(x+y)=xy → xy−3x−3y=0 → (x−3)(y−3)=9
x≤y より x−3≤y−3。9=1×9=3×3（正の約数の組）
(x−3,y−3)=(1,9)→(x,y)=(4,12)。(x−3,y−3)=(3,3)→(x,y)=(6,6)
解答：(x,y) = (4,12),(6,6)
1/x + 1/y = 1/3 を満たす正整数 (x,y)（x≤y）をすべて求めよ。
3(x+y)=xy → xy−3x−3y=0 → (x−3)(y−3)=9
x≤y より x−3≤y−3。9=1×9=3×3（正の約数の組）
(x−3,y−3)=(1,9)→(x,y)=(4,12)。(x−3,y−3)=(3,3)→(x,y)=(6,6)
解答：(x,y) = (4,12),(6,6)
💡 総合問題の戦略
- 「倍数の証明」→ 連続整数の積 or mod で場合分け
- 「方程式の整数解」→ 積の形に変形して因数列挙
- 「1/x+1/y=1/k 型」→ (x−k)(y−k)=k²に変形
練習問題
- n が整数のとき、n²+n は常に偶数であることを示せ。
- 1/x + 1/y = 1/4 を満たす正整数 (x,y)（x≤y）をすべて求めよ。
- a²+b²=c² を満たす正整数で c=13 の場合をすべて求めよ（a≤b）。
解答・解説
- n²+n=n(n+1)。連続2整数の積は必ず偶数（一方が偶数）→ 偶数 ■
- (x−4)(y−4)=16。正の約数の組：(1,16),(2,8),(4,4) → (x,y)=(5,20),(6,12),(8,8)。
答え：(5,20),(6,12),(8,8) - a²+b²=169。a=5:25+b²=169→b²=144→b=12(✓)。a=12:144+25=169→(12,5)（a≤bで除外）。
(a,b,c)=(5,12,13)