三垂線の定理と空間問題
三垂線の定理
平面 α 上の直線 l に対して：
直線 PH が平面 α に垂直（H は足）
直線 HQ が l に垂直（Q は l 上の点）
⟹ 直線 PQ ⊥ l
（逆も成立：PQ⊥l, PH⊥α ⟹ HQ⊥l）
📘 例題①（三垂線の定理の適用）
直方体 ABCD−EFGH（AB=3, BC=4, AE=5）で AG と BC のなす角を求めよ。
A→G のベクトルは (3,4,5)（対角線）。BC のベクトルは (0,4,0)（y方向）。
cos θ = (3×0+4×4+5×0)/(√50×4) = 16/(4√50) = 4/√50 = 4/(5√2) = 2√2/5
解答：θ = arccos(2√2/5)
直方体 ABCD−EFGH（AB=3, BC=4, AE=5）で AG と BC のなす角を求めよ。
A→G のベクトルは (3,4,5)（対角線）。BC のベクトルは (0,4,0)（y方向）。
cos θ = (3×0+4×4+5×0)/(√50×4) = 16/(4√50) = 4/√50 = 4/(5√2) = 2√2/5
解答：θ = arccos(2√2/5)
📘 例題②（平面までの距離）
正四面体（1辺 a）の頂点から底面までの距離（高さ）h を求めよ。
底面の重心 G から底辺の中点 M まで = a/√3（正三角形の重心）
頂点から底面の各辺の中点まで = a×√3/2（正三角形の高さ）
h² + (a/√3)² = (a√3/2)² → h² = 3a²/4 − a²/3 = 5a²/12 → h = a√(2/3) = a√6/3
解答：h = a√6/3（正四面体の高さ）
正四面体（1辺 a）の頂点から底面までの距離（高さ）h を求めよ。
底面の重心 G から底辺の中点 M まで = a/√3（正三角形の重心）
頂点から底面の各辺の中点まで = a×√3/2（正三角形の高さ）
h² + (a/√3)² = (a√3/2)² → h² = 3a²/4 − a²/3 = 5a²/12 → h = a√(2/3) = a√6/3
解答：h = a√6/3（正四面体の高さ）
💡 ポイント
- 三垂線の定理：空間での垂直性を平面に落とし込む
- 直線のなす角：方向ベクトルの内積と大きさで cosθ を計算
- 正四面体の高さ：h = a√6/3（重要公式）
- 空間問題は座標を設定するか、図形的性質を使う
練習問題
- 1辺が 6 の正四面体の高さと体積を求めよ。
- 直方体 ABCD−EFGH（AB=2, BC=3, AE=6）で、対角線 AG の長さを求めよ。
- 三垂線の定理を使って：底面が 1辺 4 の正方形で高さ 3 の正四角錐の頂点から底面への距離を求めよ（頂点と底面の重心の距離）。
解答・解説
- 高さ h=6×√6/3=2√6。体積=(1/3)×(6²×√3/4)×2√6=(1/3)×9√3×2√6=6√18=18√2
- AG=√(AB²+BC²+AE²)=√(4+9+36)=√49=7
- 底面の重心は中心。頂点から重心まで = 高さ = 3（正四角錐では頂点は底面の正方形の重心の真上）