平均変化率と導関数の定義
微分とは「瞬間の変化率」を求める操作です。平均変化率の極限として定義されます。
平均変化率
y = f(x) において x が a から b へ変化するときの平均変化率は：
(f(b) − f(a)) / (b − a)
または x = a、変化量 h を使って：(f(a+h) − f(a)) / h
導関数の定義
h → 0 の極限を取ったものが導関数：
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) − f(a)) / h
📘 例題①
f(x) = x² の x = 2 における微分係数を定義から求めなさい。
解答：f'(2) = lim_{h→0} ((2+h)² − 4)/h = lim_{h→0} (4+4h+h² − 4)/h
= lim_{h→0} (4h + h²)/h = lim_{h→0} (4 + h) = 4
f(x) = x² の x = 2 における微分係数を定義から求めなさい。
解答：f'(2) = lim_{h→0} ((2+h)² − 4)/h = lim_{h→0} (4+4h+h² − 4)/h
= lim_{h→0} (4h + h²)/h = lim_{h→0} (4 + h) = 4
📘 例題②
f(x) = x³ の導関数 f'(x) を定義から求めなさい。
解答：f'(x) = lim_{h→0} ((x+h)³ − x³)/h
= lim_{h→0} (3x²h + 3xh² + h³)/h = lim_{h→0} (3x² + 3xh + h²) = 3x²
f(x) = x³ の導関数 f'(x) を定義から求めなさい。
解答：f'(x) = lim_{h→0} ((x+h)³ − x³)/h
= lim_{h→0} (3x²h + 3xh² + h³)/h = lim_{h→0} (3x² + 3xh + h²) = 3x²
💡 ポイント
- 平均変化率：Δy/Δx = (f(a+h)−f(a))/h
- 導関数：h→0 の極限（瞬間の変化率）
- 導関数は「傾き関数」＝接線の傾きを与える
練習問題
- f(x) = 2x² の x = 3 における微分係数を定義から求めなさい。
- f(x) = x² + x の導関数を定義から求めなさい。
- f(x) = 1/x の導関数を定義から求めなさい。
解答・解説
- 解答：12
解説：lim(2(3+h)²−18)/h = lim(2(9+6h+h²)−18)/h = lim(12h+2h²)/h = 12。 - 解答：2x + 1
解説：lim((x+h)²+(x+h)−x²−x)/h = lim(2xh+h²+h)/h = 2x+1。 - 解答：−1/x²
解説：lim(1/(x+h)−1/x)/h = lim((x−(x+h))/(x(x+h)))/h = lim(−1/(x(x+h))) = −1/x²。