定積分の定義と計算
定積分は区間 [a, b] における面積（符号付き）を表し、微分積分学の基本定理で計算できます。
微分積分学の基本定理
F'(x) = f(x) のとき：∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
定積分の性質
- ∫ₐᵃ f(x)dx = 0
- ∫ₐᵇ f(x)dx = −∫_b^a f(x)dx
- ∫ₐᵇ (f+g)dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ₐᵇ g dx
- ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx
📘 例題①
次の定積分を計算しなさい。(1) ∫₀² (3x²−2x)dx (2) ∫₋₁¹ (x³−x)dx
解答：
(1) [x³−x²]₀² = (8−4) − 0 = 4
(2) [x⁴/4−x²/2]₋₁¹ = (1/4−1/2) − (1/4−1/2) = 0（奇関数の性質）= 0
次の定積分を計算しなさい。(1) ∫₀² (3x²−2x)dx (2) ∫₋₁¹ (x³−x)dx
解答：
(1) [x³−x²]₀² = (8−4) − 0 = 4
(2) [x⁴/4−x²/2]₋₁¹ = (1/4−1/2) − (1/4−1/2) = 0（奇関数の性質）= 0
📘 例題②（偶関数・奇関数）
(1) ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx（f は偶関数） (2) ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0（f は奇関数）
∫₋₂² (x⁴−3x²)dx を計算しなさい。
解答：偶関数（f(−x)=f(x)）なので = 2∫₀² (x⁴−3x²)dx = 2[x⁵/5−x³]₀² = 2(32/5−8) = 2(−8/5) = −16/5
(1) ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx（f は偶関数） (2) ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0（f は奇関数）
∫₋₂² (x⁴−3x²)dx を計算しなさい。
解答：偶関数（f(−x)=f(x)）なので = 2∫₀² (x⁴−3x²)dx = 2[x⁵/5−x³]₀² = 2(32/5−8) = 2(−8/5) = −16/5
💡 ポイント
- 定積分は F(b) − F(a) で計算（積分定数 C は消える）
- 偶関数：∫₋ₐᵃ = 2∫₀ᵃ、奇関数：∫₋ₐᵃ = 0
- f(x) < 0 の区間では面積と定積分の符号が逆
練習問題
- ∫₁³ (2x+1)dx を計算しなさい。
- ∫₋₁² (x²−x)dx を計算しなさい。
- ∫₋₃³ (x⁵−2x³+x)dx を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：[x²+x]₁³ = (9+3)−(1+1) = 10
解説：F(3)=12、F(1)=2。 - 解答：[x³/3−x²/2]₋₁² = (8/3−2)−(−1/3−1/2) = 2/3+5/6 = 3/2
解説：F(2)=8/3−2=2/3。F(−1)=−1/3−1/2=−5/6。差=2/3+5/6=9/6=3/2。 - 解答：0
解説：x⁵−2x³+xは奇関数（各項が奇次）。∫₋ₐᵃ(奇関数)dx=0。