加速度と等加速度運動の式
速度が変化するとき、その変化率を加速度と呼びます。等加速度運動の3つの式を使いこなすことが、物理基礎の核心のひとつです。
基本知識
加速度 (acceleration) は速度の変化率です:a = Δv ÷ Δt = (v - v₀) ÷ t
単位は m/s²。
加速度が一定の運動を等加速度直線運動といい、以下の3式が成り立ちます:
① v = v₀ + at (速度)
② x = v₀t + ½at² (変位)
③ v² = v₀² + 2ax (時間を含まない式)
ここで v₀ は初速度、v は時刻 t における速度、x は変位、a は加速度です。
加速度が負(初速と逆向き)の場合は物体が減速します。加速度 = 0 なら等速直線運動(v = v₀ = 一定)になります。
加速度 (acceleration)（速度の変化率。単位: m/s²）
等加速度直線運動（加速度が一定の直線運動）
初速度 v₀（t=0 における速度）
v = v₀ + at（速度を求める式）
x = v₀t + ½at²（変位を求める式）
v² = v₀² + 2ax（時間tを含まない式）
深掘り (背景・意義)
3式はたった2式(v = v₀ + at と x = v₀t + ½at²)から導けます。③式は①②から t を消去して得られます。3式を丸暗記するのではなく、「①に v と t の関係、②に x と t の関係、③に x と v の関係」と理解しておくと、どの式を使うべきか迷いません。
v-t グラフ(速度-時間グラフ)において、傾きが加速度、グラフと横軸で囲まれた面積が変位を表します。等加速度運動では直線になります。
ニュートンの運動方程式 F = ma が示すように、力が一定ならば加速度が一定になり、等加速度運動が生じます。したがってこの3式は力学全体の基礎です。
- 加速度 a = (v - v₀) / t、単位は m/s²
- 式①: v = v₀ + at（v と t の関係）
- 式②: x = v₀t + ½at²（x と t の関係）
- 式③: v² = v₀² + 2ax（t を消去）
- v-t グラフの傾き=加速度、面積=変位
- 加速度が負=減速（逆向きに加速）
- 3式は F=ma から導ける
注意点 (混同しやすい)
① 加速度の符号に注意。正方向を決めてから a の符号を決める。「減速」なら a は初速と逆向きで負になる。② 式②の ½ を忘れない。x = v₀t + at² は誤り。③ 式③は時間 t が分からない・求めない問題で使う。時間が分かっているなら①②を使う方が手早い。④ x は変位であり、始点からの距離ではない(戻ってくる場合は負になる)。
練習
- 初速度 0 m/s で出発し、4 m/s² で加速した。3 秒後の速度を求めなさい。
- 上記の運動で、3 秒間に進んだ変位を求めなさい。
- 初速度 20 m/s で進みながら、加速度 -4 m/s² で減速した。速度が 0 になるまでに進む変位を求めなさい。