加法定理② まとめと演習
加法定理・倍角・半角・合成を総合した演習です。
📘 例題①
sin 15° の値を半角公式で求めなさい。
解答：sin²15° = (1−cos30°)/2 = (1−√3/2)/2 = (2−√3)/4。
sin 15° > 0 より sin 15° = √(2−√3)/2
sin 15° の値を半角公式で求めなさい。
解答：sin²15° = (1−cos30°)/2 = (1−√3/2)/2 = (2−√3)/4。
sin 15° > 0 より sin 15° = √(2−√3)/2
📘 例題②
3sinθ − 4cosθ の最大値を求めなさい。
解答：r = √(9+16) = √25 = 5
3sinθ − 4cosθ の最大値を求めなさい。
解答：r = √(9+16) = √25 = 5
💡 まとめ
- 加法定理 6公式（sin±、cos±、tan±）
- 倍角：sin2α=2sinαcosα、cos2α の3形式
- 半角：sin²(α/2)=(1−cosα)/2、cos²(α/2)=(1+cosα)/2
- 合成：r=√(a²+b²)、φ は cos/sin 両方で確定
練習問題
- cos θ = 2/3 のとき cos 2θ と cos 4θ を求めなさい。
- sinθ + cosθ = t とおき、sin²θ + cos²θ = 1 から t の取りうる範囲を求めなさい。
- 2sinθ − cosθ の最大値と、そのときの θ を求めなさい（一般的な θ）。
解答・解説
- 解答：cos2θ = 2(4/9)−1 = −1/9。cos4θ = 2(1/81)−1 = −79/81
解説：cos2θ = 2cos²θ−1。cos4θ = 2cos²2θ−1。 - 解答：−√2 ≤ t ≤ √2
解説：t = √2 sin(θ+π/4) より |t| ≤ √2。 - 解答：最大値 √5（θ = π/2 + arctan(1/2) + 2nπ のとき）
解説：r = √(4+1) = √5。