積分② まとめと演習
定積分・面積・体積の総合演習です。
📘 例題①（面積応用）
曲線 y = x³ − x と接線（x = 1 での接線）で囲まれた面積を求めなさい。
解答：f(x) = x³−x。f'(x) = 3x²−1。f'(1) = 2、f(1) = 0。
接線：y = 2(x−1) = 2x−2。
交点：x³−x = 2x−2 → x³−3x+2 = 0 → (x−1)²(x+2) = 0。x = 1, −2。
S = ∫₋₂¹ |(x³−x)−(2x−2)| dx = ∫₋₂¹ |x³−3x+2| dx = ∫₋₂¹ (x−1)²(x+2) dx
[−2, 1] で (x−1)²(x+2) ≥ 0（(x−1)² ≥ 0、x+2 ≥ 0）
= ∫₋₂¹ (x³−3x+2) dx = [x⁴/4−3x²/2+2x]₋₂¹ = (1/4−3/2+2)−(4−6−4) = 3/4+6 = 27/4
曲線 y = x³ − x と接線（x = 1 での接線）で囲まれた面積を求めなさい。
解答：f(x) = x³−x。f'(x) = 3x²−1。f'(1) = 2、f(1) = 0。
接線：y = 2(x−1) = 2x−2。
交点：x³−x = 2x−2 → x³−3x+2 = 0 → (x−1)²(x+2) = 0。x = 1, −2。
S = ∫₋₂¹ |(x³−x)−(2x−2)| dx = ∫₋₂¹ |x³−3x+2| dx = ∫₋₂¹ (x−1)²(x+2) dx
[−2, 1] で (x−1)²(x+2) ≥ 0（(x−1)² ≥ 0、x+2 ≥ 0）
= ∫₋₂¹ (x³−3x+2) dx = [x⁴/4−3x²/2+2x]₋₂¹ = (1/4−3/2+2)−(4−6−4) = 3/4+6 = 27/4
💡 まとめ
- 定積分：F(b)−F(a)（積分定数不要）
- 面積：∫|f(x)|dx または ∫(上−下)dx
- 1/6 公式：2次曲線と x 軸 → |a|(β−α)³/6
- 回転体体積：π∫{f(x)}²dx
練習問題
- y = x³ と y = x の間の面積を求めなさい（x ≥ 0 の部分）。
- y = x² − 2x を x 軸まわりに回転した体積（[0, 2] の範囲）を求めなさい。
- y = x と y = x³ で囲まれた全面積を求めなさい。
解答・解説
- 解答：1/4
解説：x³=x→x=0,1（x≥0で）。[0,1]でx≥x³。∫₀¹(x−x³)dx=[x²/2−x⁴/4]₀¹=1/2−1/4=1/4。 - 解答：16π/15
解説：V=π∫₀²(x²−2x)²dx=π∫₀²(x⁴−4x³+4x²)dx=π[x⁵/5−x⁴+4x³/3]₀²=π(32/5−16+32/3)=π(96/15−240/15+160/15)=16π/15。 - 解答：1/2
解説：x=x³→x(x²−1)=0→x=0,±1。対称性から2×∫₀¹(x−x³)dx=2×1/4=1/2。