条件がついた組み合わせ
「片方が、もう片方より多い」「全部で何枚までしか使えない」など、追加の条件がついた芋づる算を学びます。
条件を整理してから解く
条件がふえると、答えの数がぐっと減ります。まず条件を箇条書きにして、基本のやり方で解いていきましょう。
例題
50円玉と10円玉を合わせて、ちょうど200円を作ります。使う硬貨の枚数の合計が8枚いかになる方法を全部見つけなさい。
解き方：50x＋10y＝200（x：50円玉、y：10円玉）、x＋y≦8
xを0から順に入れてみます。
x＝0：10y＝200 → y＝20、合計20枚 → ダメ
x＝1：10y＝150 → y＝15、合計16枚 → ダメ
x＝2：10y＝100 → y＝10、合計12枚 → ダメ
x＝3：10y＝50 → y＝5、合計8枚 → OK ✓
x＝4：10y＝0 → y＝0、合計4枚 → OK ✓
答え：（50円玉3枚、10円玉5枚）と（50円玉4枚、10円玉0枚）の2通り
50円玉と10円玉を合わせて、ちょうど200円を作ります。使う硬貨の枚数の合計が8枚いかになる方法を全部見つけなさい。
解き方：50x＋10y＝200（x：50円玉、y：10円玉）、x＋y≦8
xを0から順に入れてみます。
x＝0：10y＝200 → y＝20、合計20枚 → ダメ
x＝1：10y＝150 → y＝15、合計16枚 → ダメ
x＝2：10y＝100 → y＝10、合計12枚 → ダメ
x＝3：10y＝50 → y＝5、合計8枚 → OK ✓
x＝4：10y＝0 → y＝0、合計4枚 → OK ✓
答え：（50円玉3枚、10円玉5枚）と（50円玉4枚、10円玉0枚）の2通り
「少なくとも1枚は使う」という条件
「どの硬貨も、かならず1枚以上は使う」という条件があるときは、x≧1、y≧1 として考えます。基本のやり方で全部見つけてから、ルールに合わないものを取りのぞきましょう。
ポイント
- 追加の条件は「x＋y≦○」「x≧1」のような形で書きあらわします。
- まず基本のやり方で全部の答えを出してから、条件に合わないものを取りのぞきましょう。
- 表をつくっておくと、条件を満たすかどうかをチェックしやすいです。
練習問題
- 5円と2円の切手でちょうど20円にする方法のうち、合計の枚数が6枚以下のものを全部見つけなさい。
- 100円玉と50円玉を合わせて700円を作る方法のうち、100円玉を少なくとも2枚使うものを全部見つけなさい。
- りんご1個120円、みかん1個80円です。合わせてちょうど1000円になるりんごとみかんの個数の組み合わせを、全部見つけなさい。
解答・解説
- 解答：（5円2枚、2円5枚）と（5円4枚、2円0枚）の2通り
解説：5x＋2y＝20かつx＋y≦6（x,y≧0の整数）。x＝0：2y＝20→y＝10、合計10枚→条件不満。x＝1：2y＝15→割り切れない。x＝2：2y＝10→y＝5、合計7枚→条件不満（7＞6）。x＝3：2y＝5→割り切れない。x＝4：2y＝0→y＝0、合計4枚✓。x＝5以上：5×5＝25＞20→不可。答え：（x,y）＝（4,0）の1通り。確認：5×4＋2×0＝20✓、4＋0＝4≦6✓ - 解答：（100円2枚、50円6枚）（100円3枚、50円2枚）（100円4枚、50円0枚）（100円2枚、50円6枚）を確認すると100円7枚以上は不可なので3通り
解説：100x＋50y＝700かつx≧2（x,y≧0の整数）。x＝2：50y＝500→y＝10✓。x＝3：50y＝400→y＝8✓。x＝4：50y＝300→y＝6✓。x＝5：50y＝200→y＝4✓。x＝6：50y＝100→y＝2✓。x＝7：50y＝0→y＝0✓。x＝8：100×8＝800＞700→不可。答え：（2,10）（3,8）（4,6）（5,4）（6,2）（7,0）の6通り。 - 解答：（りんご0個、みかん12.5個）など整数解を探すと（りんご5個、みかん2.5個）→割り切れない。整数解：（りんご0個・みかん12.5個は不可）
解説：120x＋80y＝1000（x,y≧0の整数）。両辺を40で割る：3x＋2y＝25。y＝0：3x＝25→割り切れない。y＝1：3x＝23→割り切れない。y＝2：3x＝21→x＝7✓。y＝3：3x＝19→割り切れない。y＝4：3x＝17→割り切れない。y＝5：3x＝15→x＝5✓。y＝8：3x＝9→x＝3✓。y＝11：3x＝3→x＝1✓。答え：（x,y）＝（7,2）（5,5）（3,8）（1,11）の4通り。