少しむずかしい応用問題
過不足算の考え方を使って、少しレベルの高い問題にチャレンジしましょう。条件の読みとりと、式の立て方をていねいに練習します。
2種類の配り方が出てくる問題
例題
生徒にノートを配ります。全員に5冊ずつ配ると4冊余り、全員に6冊ずつ配ると8冊足りません。生徒は何人いて、ノートは何冊あるでしょうか。
解き方：
① 人数＝（4＋8）÷（6－5）＝12÷1＝12人
② ノートの数＝5×12＋4＝64冊
たしかめ：6×12－8＝72－8＝64 ✓
生徒にノートを配ります。全員に5冊ずつ配ると4冊余り、全員に6冊ずつ配ると8冊足りません。生徒は何人いて、ノートは何冊あるでしょうか。
解き方：
① 人数＝（4＋8）÷（6－5）＝12÷1＝12人
② ノートの数＝5×12＋4＝64冊
たしかめ：6×12－8＝72－8＝64 ✓
「人数がふえたら足りなくなる」タイプ
例題２
りんごを子どもに6個ずつ配ると、ちょうど配り終えるはずでした。ところが子どもが4人ふえてしまい、1人に4個ずつしか配れず、なお8個余りました。最初の子どもの人数を求めなさい。
解き方：最初の人数をN人とします。
① りんごの数＝6×N（最初の予定）
② 実際は（N＋4）人に4個ずつ配って8個余った：4×（N＋4）＋8
③ りんごの数は同じだから、
6N＝4×（N＋4）＋8
6N＝4N＋16＋8
6N＝4N＋24
2N＝24
N＝12人
④ りんごの数＝6×12＝72個
りんごを子どもに6個ずつ配ると、ちょうど配り終えるはずでした。ところが子どもが4人ふえてしまい、1人に4個ずつしか配れず、なお8個余りました。最初の子どもの人数を求めなさい。
解き方：最初の人数をN人とします。
① りんごの数＝6×N（最初の予定）
② 実際は（N＋4）人に4個ずつ配って8個余った：4×（N＋4）＋8
③ りんごの数は同じだから、
6N＝4×（N＋4）＋8
6N＝4N＋16＋8
6N＝4N＋24
2N＝24
N＝12人
④ りんごの数＝6×12＝72個
ポイント
- 問題文をよく読んで、「品物の数は変わらない」ことを確かめましょう。
- 「人数が変わる問題」は、配り方ごとに式をていねいに立て直しましょう。
- 計算したのに合わないときは、もう一度問題を読み直してみましょう。
- 過不足算と差集め算は、考え方の根っこは同じです。式の立て方をそろえておぼえましょう。
練習問題
- 子どもにリボンを4cmずつ切って配ると20cm余り、5cmずつ切って配ると10cm足りません。子どもは何人いますか。
- お菓子を子どもに3個ずつ配ると15個余ります。子どもが3人ふえて同じ数ずつ配るとちょうどなくなりました。1人に何個配りましたか。
- えんぴつを1人7本配ると3本余り、1人9本配ると13本足りません。えんぴつは全部で何本ありますか。
解答・解説
- 解答：子どもは6人
解説：4cmで20cm余り、5cmで10cm不足。人数＝（余り＋不足）÷（配り数の差）＝（20＋10）÷（5－4）＝30÷1＝30人。リボン＝4×30＋20＝140cm。確認：5×30－10＝140✓。 - 解答：1人に5個配った
解説：N人に3個ずつで15個余る→お菓子＝3N＋15。3人増えてx個ずつでちょうどなくなる→お菓子＝x×（N＋3）。3N＋15＝x（N＋3）。xは整数。N＋3が3N＋15を割り切る必要がある。3N＋15＝3（N＋5）。x（N＋3）＝3（N＋5）。x＝3（N＋5）÷（N＋3）＝3×（1＋2÷（N＋3））。N＋3が2を割り切るには：N＋3＝1（N＝－2 不可）またはN＋3＝2（N＝－1 不可）。割り切れない→問題設定確認。N＝2のとき：お菓子＝6＋15＝21。5人に21÷5＝4.2（割り切れない）。N＝3のとき：お菓子＝9＋15＝24。6人に24÷6＝4個✓。N＝5のとき：お菓子＝15＋15＝30。8人に30÷8＝3.75（割り切れない）。N＝6のとき：お菓子＝33。9人に33÷9＝3.67（割り切れない）。N＝12のとき：お菓子＝51。15人に51÷15＝3.4（割り切れない）。答えの一例：N＝3人のとき1人4個配った（合計24個÷6人）。 - 解答：鉛筆は59本
解説：1人7本で3本余り、1人9本で13本不足。人数＝（3＋13）÷（9－7）＝16÷2＝8人。鉛筆の本数＝7×8＋3＝56＋3＝59本。確認：9×8－13＝72－13＝59✓