比が変わる前と後の関係
倍数算（ばいすうざん）は、2つの量の「比」が変化する前と後の様子から、それぞれの量を求める問題です。「比がどう変わったか」がいちばんのポイントです。
倍数算の基本
ある量がふえたり、へったりすると、比が変わります。「変わらない量」や「変わらないちがい」に注目して解きます。
例題
AとBのお金の比は3：2でしたが、AがBに100円わたしたら、比が1：1になりました。はじめのAのお金はいくらだったでしょうか。
解き方：
① はじめ：A＝3k、B＝2k（kは比の1つ分）
② わたしたあと：A＝3k－100、B＝2k＋100
③ 比が1：1なので、A＝B
3k－100＝2k＋100
k＝200
④ はじめのA＝3×200＝600円
たしかめ：はじめのB＝400円。わたしたあと A＝500円、B＝500円 → 1：1 ✓
AとBのお金の比は3：2でしたが、AがBに100円わたしたら、比が1：1になりました。はじめのAのお金はいくらだったでしょうか。
解き方：
① はじめ：A＝3k、B＝2k（kは比の1つ分）
② わたしたあと：A＝3k－100、B＝2k＋100
③ 比が1：1なので、A＝B
3k－100＝2k＋100
k＝200
④ はじめのA＝3×200＝600円
たしかめ：はじめのB＝400円。わたしたあと A＝500円、B＝500円 → 1：1 ✓
「合計が変わらない」を使う
2人の間でお金をわたすだけの場合、AとBの合計はずっと同じです。この「変わらない量」をうまく使うこともできます。
- はじめの合計：3k＋2k＝5k
- 比1：1になるので、それぞれは 5k÷2
- Aは 3k から 5k÷2 にへったので、わたした分は 3k－5k÷2＝k/2 → k/2＝100 → k＝200
ポイント
- はじめの比を使って、A＝3k、B＝2k のように書きあらわします。
- 変化したあとの条件（比や具体的な数）から、式を立てて k を求めましょう。
- 「お金がうつっても合計は同じ」「もらった人はふえ、わたした人はへる」を意識します。
練習問題
- XとYの枚数の比は5：3でしたが、XがYに20枚わたしたら比が3：3になりました。はじめのXの枚数を求めなさい。
- AとBのお金の比は7：3でしたが、AがBに400円わたしたら比が3：2になりました。はじめのAのお金を求めなさい。
- 2つの入れものPとQに水が入っています。PとQの水の比は5：3でしたが、Pから100ml移したら比が3：5になりました。はじめのPの水の量を求めなさい。
解答・解説
- 解答：最初のXは100枚
解説：変化前：X＝5k、Y＝3k。XがYに20枚渡した後：X＝5k－20、Y＝3k＋20。比が3：3（＝1：1）なので5k－20＝3k＋20。2k＝40。k＝20。最初のX＝5×20＝100枚。確認：Y最初＝60枚。渡した後X＝80枚、Y＝80枚→1：1✓ - 解答：最初のAの所持金は2800円
解説：変化前：A＝7k、B＝3k。AがBに400円渡した後：A＝7k－400、B＝3k＋400。比が3：2なので（7k－400）：（3k＋400）＝3：2。2（7k－400）＝3（3k＋400）。14k－800＝9k＋1200。5k＝2000。k＝400。最初のA＝7×400＝2800円。確認：B最初＝1200円。渡した後A＝2400円、B＝1600円→2400：1600＝3：2✓ - 解答：最初のPは250ml
解説：変化前：P＝5k、Q＝3k。Pから100ml移した後：P＝5k－100、Q＝3k＋100。比が3：5なので（5k－100）：（3k＋100）＝3：5。5（5k－100）＝3（3k＋100）。25k－500＝9k＋300。16k＝800。k＝50。最初のP＝5×50＝250ml。確認：Q最初＝150ml。移動後P＝150ml、Q＝250ml→150：250＝3：5✓