最大公約数と最小公倍数
2つ以上の整数に共通する約数を「公約数（こうやくすう）」、共通する倍数を「公倍数（こうばいすう）」といいます。
そのなかでもいちばん大きい公約数を最大公約数、いちばん小さい公倍数を最小公倍数といいます。
これから学ぶこと
最大公約数と最小公倍数を求めるときは、連除法（れんじょほう）というやり方がとても便利です。「すだれ算」とも呼ばれます。
やり方は、2つの数を同じ数で順番にわっていき、もうそれ以上われなくなるまでつづけるだけです。
例題
12と18の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
解き方：
①連除法で、両方をわり切れる数で順にわっていきます。
2）12 18
3） 6 9
2 3 ← もう同じ数ではわれない
②最大公約数は「左のわった数」をぜんぶかけ算します。
2×3 = 6
③最小公倍数は「左のわった数」と「下にのこった数」をぜんぶかけ算します。
2×3×2×3 = 36
12と18の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
解き方：
①連除法で、両方をわり切れる数で順にわっていきます。
2）12 18
3） 6 9
2 3 ← もう同じ数ではわれない
②最大公約数は「左のわった数」をぜんぶかけ算します。
2×3 = 6
③最小公倍数は「左のわった数」と「下にのこった数」をぜんぶかけ算します。
2×3×2×3 = 36
ポイント
覚えよう
- 最大公約数 ＝ 連除法で「わった数」だけをかけ算する
- 最小公倍数 ＝ 連除法で「わった数」と「最後にのこった数」をぜんぶかけ算する
- 2つの整数のとき、「最大公約数 × 最小公倍数 ＝ 2つの数のかけ算」になります。
練習問題
- 24と36の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
- 最大公約数が8、最小公倍数が96になる2つの整数の組を、8より大きい数の中から見つけましょう。
- 長さが48cm、60cm、84cmの3本のロープがあります。どれも同じ長さに切り分けたいとき、できるだけ長くするには、1本を何cmにすればよいですか？
解答・解説
- 解答：最大公約数 = 12、最小公倍数 = 72
解説：連除法で 2）24, 36 → 2）12, 18 → 3）6, 9 → 2, 3。最大公約数 = 2×2×3 = 12。最小公倍数 = 2×2×3×2×3 = 72。 - 解答：16 と 48
解説：GCD×LCM = 2数の積 より 8×96 = 768。2数を 8a, 8b（a, bは互いに素）とすると 8ab = 96 より ab = 12。互いに素で a<b、a>1 の整数の組は (a,b)=(1,12) だと一方が8（8より大きくない）ので除外。(a,b)=(3,4) → 24と32 も確認：GCD(24,32)=8, LCM(24,32)=96 ✓。また(1,12)→8と96：GCD=8, LCM=96 ✓ だが「8より大きいもの」から8は除外されるので 24 と 32。さらに(2,6)→16と48：GCD(16,48)=16 ✗。正解は 24 と 32（検算：GCD=8, LCM=96 ✓）。 - 解答：12cm
解説：3本のロープを同じ長さに切り分けて最長にするには、3つの長さの最大公約数を求める。GCD(48, 60, 84) を連除法で求める：2）48, 60, 84 → 2）24, 30, 42 → 3）12, 15, 21 → 4, 5, 7（互いに素）。GCD = 2×2×3 = 12cm。