比例と反比例⑤ 反比例のグラフと応用
反比例のグラフは 双曲線（そうきょくせん） という、なめらかな曲線2本になります。比例のグラフ（直線）との違いを意識しましょう。最後に比例・反比例の応用問題も扱います。
反比例のグラフ
y = a/x のグラフは 双曲線。原点を通らず、x軸や y軸とも交わりません。
- a ＞ 0：第1象限と第3象限に枝がある
- a ＜ 0：第2象限と第4象限に枝がある
- 原点に近づくほど x軸・y軸に近づくが、決して交わらない（漸近線）
グラフのかき方
① x にいくつかの値を代入して y を計算し、表を作る
② 表の (x, y) を点としてうつす（できるだけ多くの点）
③ 点を なめらかな曲線 で結ぶ（直線ではない！）
例：y = 6/x の表
x：−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6
y：−1, −2, −3, −6, 6, 3, 2, 1
📘 例題①
ある反比例のグラフが点 (3, −4) を通ります。式を求めなさい。また、このグラフは点 (−2, 6) を通るかどうか調べなさい。
解答：
y = a/x に代入：−4 = a/3 → a = −12。式は y = −12/x。
(−2, 6) について：xy = (−2)×6 = −12 = a。一致するので 通る。
ある反比例のグラフが点 (3, −4) を通ります。式を求めなさい。また、このグラフは点 (−2, 6) を通るかどうか調べなさい。
解答：
y = a/x に代入：−4 = a/3 → a = −12。式は y = −12/x。
(−2, 6) について：xy = (−2)×6 = −12 = a。一致するので 通る。
比例・反比例の応用
身のまわりにある比例・反比例の関係を整理します。
・比例：道のり = 速さ×時間（速さ一定）、代金 = 単価×個数（単価一定）
・反比例：時間 = 道のり/速さ（道のり一定）、長方形の縦×横 = 面積（面積一定）
📘 例題②
家から駅までの 1200 m の道を、毎分 x m の速さで歩くときにかかる時間 y 分について、x と y の関係を式で表しなさい。また x = 80 のときの y を求めなさい。
解答：
時間 = 道のり / 速さ より y = 1200/x（反比例）。
x = 80 のとき y = 1200/80 ＝ 15（分）。
家から駅までの 1200 m の道を、毎分 x m の速さで歩くときにかかる時間 y 分について、x と y の関係を式で表しなさい。また x = 80 のときの y を求めなさい。
解答：
時間 = 道のり / 速さ より y = 1200/x（反比例）。
x = 80 のとき y = 1200/80 ＝ 15（分）。
💡 ポイント
- 反比例のグラフ＝双曲線（2本の曲線）。原点は通らず、軸とも交わらない
- a＞0 → 第1・3象限、a＜0 → 第2・4象限
- 「速さが一定」なら比例、「道のりが一定」なら反比例（時間と速さの関係）
- (x, y) が xy = a を満たすかどうかで反比例の点判定ができる
練習問題
- 反比例 y = −8/x のグラフはどの象限を通るか答えなさい。
- 反比例のグラフが点 (4, 3) を通るとき、式を求め、x = −2 のときの y を求めなさい。
- 体積 240 cm³ の直方体の底面積 x cm² と高さ y cm の関係を式で表しなさい。x = 30 のときの y を求めなさい。
解答・解説
- 解答：第2象限と第4象限
解説：a = −8 ＜ 0 なので双曲線は第2象限と第4象限に。 - 解答：y = 12/x、x=−2 で y = −6
解説：a = xy = 4×3 = 12。y = 12/(−2) = −6。 - 解答：y = 240/x、x=30 で y = 8
解説：体積 = 底面積×高さ より xy = 240 → y = 240/x。30y = 240 → y = 8。