作図① 作図の道具と垂直二等分線
「作図」とは、定規（じょうぎ）とコンパスだけを使って、図形を正確にかくことです。長さを測ったり分度器で角度を測ったりはせず、コンパスの「同じ長さ」を活用して図形をかきます。まずは 垂直二等分線 の作図を学びます。
作図のルール
中学の作図で使えるのは次の2つのみ：
・定規：まっすぐな線をひく（長さを測ってはいけない）
・コンパス：円や弧をかく、長さを別の場所に写す
作図のときに引いた補助の線（円弧や直線）は 消さずに残す のが鉄則です。
垂直二等分線とは
線分 AB の 垂直二等分線 とは、線分 AB を 垂直に通り、かつ中点で交わる直線 のこと。
・AB を 2等分する
・AB と直角に交わる
垂直二等分線上の点は、A と B から 同じ距離 にあります（この性質が大事）。
垂直二等分線の作図
線分 AB の垂直二等分線をかく手順：
① 点 A を中心に、AB の半分より大きい半径で 円弧をかく
② 同じ半径で、点 B を中心にも 円弧をかく
③ 2つの円弧の交点を P、Q とする
④ 直線 PQ をひく → これが垂直二等分線
📘 例題①
線分 AB の垂直二等分線を作図しなさい。また、その作図がなぜ正しいかを説明しなさい。
解答：
作図手順は上記①〜④。理由：A と B から同じ半径の円弧をひいたので、2つの交点 P、Q はどちらも AP = BP、AQ = BQ。したがって P、Q は A と B から等距離にあり、AB の垂直二等分線上にある。
線分 AB の垂直二等分線を作図しなさい。また、その作図がなぜ正しいかを説明しなさい。
解答：
作図手順は上記①〜④。理由：A と B から同じ半径の円弧をひいたので、2つの交点 P、Q はどちらも AP = BP、AQ = BQ。したがって P、Q は A と B から等距離にあり、AB の垂直二等分線上にある。
垂直二等分線の性質と利用
垂直二等分線上の点は2点 A、B から等しい距離。
・線分の中点を求めるときに使える
・2点から等距離にある点 をすべて見つけたいときにも使える
📘 例題②
2点 A、B から等しい距離にある点をすべて表す図形は何ですか。
解答：
線分 AB の垂直二等分線。垂直二等分線上のすべての点は、A、B から同じ距離にある。
2点 A、B から等しい距離にある点をすべて表す図形は何ですか。
解答：
線分 AB の垂直二等分線。垂直二等分線上のすべての点は、A、B から同じ距離にある。
💡 ポイント
- 作図は定規（線をひく）とコンパス（同じ長さ・円弧）のみ
- 引いた円弧は消さない
- 垂直二等分線：両端から同じ半径の弧を2つ引き、交点を結ぶ
- 垂直二等分線上の点 ⇔ 2点から等距離
練習問題
- 線分 PQ の垂直二等分線を作図する手順を答えなさい。
- 3点 A、B、C があって、AとB から等しく、また B と C からも等しい距離の点 X を作図するにはどうすればよいですか。
- 線分 AB の中点 M を作図によって求める方法を述べなさい。
解答・解説
- 解答：P、Q を中心に同じ半径（PQの半分より大きい）で円弧を描き、2つの交点を直線で結ぶ
解説：これが垂直二等分線。 - 解答：AB の垂直二等分線と BC の垂直二等分線をそれぞれ作図し、その交点が X
解説：X は A,B から等距離 かつ B,C から等距離 → ABC の外接円の中心になる。 - 解答：AB の垂直二等分線を作図し、AB との交点が中点 M
解説：垂直二等分線は AB を二等分する。