作図③ 角の二等分線
角を2つに等しく分ける半直線を 角の二等分線 といいます。コンパスを使ってきれいに作図できます。
角の二等分線とは
∠AOB を二等分する半直線 OC を 角の二等分線 といいます。
∠AOC ＝ ∠COB ＝ (1/2) × ∠AOB
作図手順
① 角の頂点 O を中心に適当な半径で円弧をかき、半直線 OA、OB との交点を P、Q とする
② P を中心に、PQ の半分より大きい半径で円弧をかく
③ Q を中心に、②と同じ半径で円弧をかき、②の弧との交点を R とする
④ 半直線 OR をひく → これが角の二等分線
📘 例題①
角 AOB の二等分線を作図する手順を答えなさい。また、なぜその作図で2等分されるか説明しなさい。
解答：
手順は上記①〜④。
理由：OP = OQ（同じ円弧上）、PR = QR（同じ半径）、OR は共通。よって △OPR ≡ △OQR（三辺相等）。
したがって ∠POR = ∠QOR となり、OR は ∠AOB の二等分線。
角 AOB の二等分線を作図する手順を答えなさい。また、なぜその作図で2等分されるか説明しなさい。
解答：
手順は上記①〜④。
理由：OP = OQ（同じ円弧上）、PR = QR（同じ半径）、OR は共通。よって △OPR ≡ △OQR（三辺相等）。
したがって ∠POR = ∠QOR となり、OR は ∠AOB の二等分線。
角の二等分線の性質
角の二等分線上の点は、角の2つの辺から等しい距離 にあります。
逆に、角の2つの辺から等距離の点は、角の二等分線上にある。
📘 例題②
2本の直線 ℓ、m から等しい距離にある点をすべて表す図形は何ですか。
解答：
2本の直線 ℓ、m がつくる角の二等分線。
（厳密には2直線が交わるとき、4つの角ができるので、対頂角を含めて二等分線が2本ある）
2本の直線 ℓ、m から等しい距離にある点をすべて表す図形は何ですか。
解答：
2本の直線 ℓ、m がつくる角の二等分線。
（厳密には2直線が交わるとき、4つの角ができるので、対頂角を含めて二等分線が2本ある）
💡 ポイント
- 角の二等分線：角を2等分する半直線
- 作図：頂点中心の弧で両辺と交わらせ、2交点から同半径の弧の交点と頂点を結ぶ
- 二等分線上の点は2辺から等距離
- 2直線から等距離の点 ⇔ 角の二等分線上
練習問題
- 角の二等分線を作図する手順を簡単に説明しなさい。
- 三角形 ABC の頂点 A から、∠A の二等分線を作図しなさい。
- 2本の壁 ℓ、m が交わっている場所で、両方の壁から等しい距離になる位置を歩きたい。どんな線をたどればよいか答えなさい。
解答・解説
- 解答：頂点中心に弧をひき両辺との交点を P,Q。P,Q から同半径で弧を交わらせ点 R。OR が二等分線
解説：合同な三角形ができるため角が二等分される。 - 解答：A を中心に弧をひき辺 AB、AC との交点を作り、その2点から同半径の弧で交点を求め、A と結ぶ
解説：作図手順は同じ。 - 解答：角の二等分線をたどる
解説：2直線から等距離の点の集まりが角の二等分線。